Номер 4, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Геометрическая прогрессия задана формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 2^n$. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

а) 186;

б) 234;

в) 148;

г) 236;

д) 214.

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 2^n$, мы можем воспользоваться специальной формулой для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

Сначала найдем первый член прогрессии, $b_1$, подставив $n=1$ в заданную формулу:

$b_1 = 3 \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$

Далее найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого можно найти второй член $b_2$ и вычислить отношение $q = \frac{b_2}{b_1}$. Подставим $n=2$ в формулу:

$b_2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Теперь вычислим знаменатель:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета суммы первых пяти членов ($n=5$): $b_1=6$ и $q=2$. Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{6(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(32 - 1)}{1} = 6 \cdot 31 = 186$

Таким образом, сумма первых пяти членов этой геометрической прогрессии равна 186.

а) 186; Ответ: 186