Номер 8, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_7 - b_5 = 48$; $b_6 + b_5 = 48$.

а) 2;
б) -2;
в) 0.5;
г) -0.5;
д) 3.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ составим систему уравнений на основе условия. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии, которая связывает любые два члена: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} b_7 - b_5 = 48 \\ b_6 + b_5 = 48 \end{cases}$

Выразим члены $b_7$ и $b_6$ через $b_5$ и знаменатель прогрессии $q$:

• $b_7 = b_5 \cdot q^{7-5} = b_5 \cdot q^2$
• $b_6 = b_5 \cdot q^{6-5} = b_5 \cdot q$

Подставим полученные выражения в исходную систему и вынесем общий множитель $b_5$ за скобки:

$\begin{cases} b_5(q^2 - 1) = 48 & (1) \\ b_5(q + 1) = 48 & (2) \end{cases}$

Из уравнения (2) следует, что $b_5 \neq 0$ и $q+1 \neq 0$ (то есть $q \neq -1$), так как их произведение равно 48.

Поскольку правые части обоих уравнений равны 48, мы можем разделить уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{b_5(q^2 - 1)}{b_5(q + 1)} = \frac{48}{48}$

Сократим $b_5$ в левой части и упростим правую часть:

$\frac{q^2 - 1}{q + 1} = 1$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(q-1)(q+1)}{q+1} = 1$

Так как мы ранее установили, что $q \neq -1$, то множитель $(q+1)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$q - 1 = 1$

Из этого простого уравнения находим $q$:

$q = 1 + 1 = 2$

Полученное значение $q=2$ не противоречит условию $q \neq -1$. Следовательно, искомый знаменатель геометрической прогрессии равен 2. Этот ответ соответствует варианту а).

а) Ответ: 2