Номер 11, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Сумма десяти членов геометрической прогрессии равна 64, произведение первого и десятого членов равно 16. Найдите сумму чисел, обратных членам геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ - первый член геометрической прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Тогда последовательность членов прогрессии: $b_1, b_2, \ldots, b_{10}$.

По условию задачи, сумма первых десяти членов равна 64:

$S_{10} = b_1 + b_2 + \ldots + b_{10} = \sum_{k=1}^{10} b_k = 64$

Также по условию, произведение первого и десятого членов равно 16:

$b_1 \cdot b_{10} = 16$

Необходимо найти сумму чисел, обратных членам данной геометрической прогрессии. Обозначим эту сумму как $S'_{10}$:

$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \ldots + \frac{1}{b_{10}} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{b_k}$

Запишем члены этой новой последовательности через первый член $b_1$ и знаменатель $q$ исходной прогрессии:

$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} + \ldots + \frac{1}{b_1q^9}$

Приведем все дроби в этом выражении к общему знаменателю. Общим знаменателем является $b_1q^9$:

$S'_{10} = \frac{q^9 + q^8 + \ldots + q + 1}{b_1q^9}$

Теперь рассмотрим сумму $S_{10}$ исходной прогрессии:

$S_{10} = b_1 + b_1q + \ldots + b_1q^9 = b_1(1 + q + \ldots + q^9) = 64$

Из этого равенства можно выразить сумму $1 + q + \ldots + q^9$, которая является числителем в выражении для $S'_{10}$:

$1 + q + \ldots + q^9 = \frac{S_{10}}{b_1} = \frac{64}{b_1}$

Подставим полученное выражение для числителя в формулу для $S'_{10}$:

$S'_{10} = \frac{\frac{S_{10}}{b_1}}{b_1q^9} = \frac{S_{10}}{b_1^2 q^9}$

Используем второе условие задачи: $b_1 \cdot b_{10} = 16$. Так как десятый член прогрессии $b_{10} = b_1q^9$, мы можем переписать это условие:

$b_1 \cdot (b_1q^9) = b_1^2 q^9 = 16$

Мы нашли значение знаменателя $b_1^2 q^9$ в выражении для $S'_{10}$. Теперь можем вычислить итоговое значение, подставив все известные величины:

$S'_{10} = \frac{S_{10}}{b_1^2 q^9} = \frac{64}{16} = 4$

Ответ: 4