Номер 13, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения 30S, где

$S = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{12} - \frac{1}{16} + \dots - \dots$

Для нахождения значения выражения $30S$ необходимо сначала вычислить сумму бесконечного ряда $S$.

Представим ряд $S$ в виде разности двух сумм, сгруппировав положительные и отрицательные члены:

$S = (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$

Каждая из скобок представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S_{prog} = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1. Вычислим сумму первой прогрессии (положительные члены):

$S_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots$

Первый член $b_1 = \frac{1}{3}$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$. Так как $|q| < 1$, прогрессия сходится.
Сумма $S_1 = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.

2. Вычислим сумму второй прогрессии (модули отрицательных членов):

$S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$

Первый член $b_1 = \frac{1}{4}$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$. Так как $|q| < 1$, прогрессия сходится.
Сумма $S_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

3. Найдем значение $S$:

$S = S_1 - S_2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.

4. Найдем значение выражения $30S$:

$30S = 30 \cdot S = 30 \cdot \frac{1}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

30S: Ответ: 5