Номер 9, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. В равносторонний треугольник со стороной 8 вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого треугольника. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и т. д. Найдите периметр восьмого треугольника.

а) $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{3}{32} $;

В) $ \frac{3}{48} $;

Г) $ \frac{3}{16} $;

Д) $ \frac{3}{8} $.

Пусть $a_1$ — сторона исходного равностороннего треугольника. По условию задачи, $a_1 = 8$.

Периметр первого треугольника, $P_1$, вычисляется по формуле $P = 3a$. $P_1 = 3 \times a_1 = 3 \times 8 = 24$.

Второй треугольник вписан в первый, и его вершины являются серединами сторон первого треугольника. Это означает, что стороны второго треугольника являются средними линиями первого.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Так как исходный треугольник равносторонний, все его стороны равны, и все средние линии также равны между собой. Таким образом, второй треугольник тоже является равносторонним.

Сторона второго треугольника, $a_2$, равна: $a_2 = \frac{1}{2} a_1 = \frac{1}{2} \times 8 = 4$.

Соответственно, периметр второго треугольника, $P_2$, равен: $P_2 = 3 \times a_2 = 3 \times 4 = 12$.

Продолжая этот процесс, мы видим, что периметр каждого следующего треугольника в 2 раза меньше периметра предыдущего. Таким образом, периметры треугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $P_1 = 24$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $P_n = P_1 \times q^{n-1}$.

Подставим наши значения для $n=8$: $P_8 = P_1 \times q^{8-1} = P_1 \times q^7 = 24 \times (\frac{1}{2})^7$.

Вычислим значение $(\frac{1}{2})^7$: $(\frac{1}{2})^7 = \frac{1^7}{2^7} = \frac{1}{128}$.

Теперь найдем $P_8$: $P_8 = 24 \times \frac{1}{128} = \frac{24}{128}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 24 и 128 равен 8: $P_8 = \frac{24 \div 8}{128 \div 8} = \frac{3}{16}$.

Периметр восьмого треугольника равен $\frac{3}{16}$.

г) Ответ: $\frac{3}{16}$