Номер 7, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма членов этой прогрессии равна 12,6, а отношение 20-го члена к 17-му равно $ \frac{8}{125} $;

а) 16,2;

б) 17,64;

в) 15,4;

г) 2,51;

д) 13.

Для решения задачи воспользуемся формулами для n-го члена и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя известное из условия отношение 20-го члена к 17-му:

$\frac{b_{20}}{b_{17}} = \frac{b_1 \cdot q^{20-1}}{b_1 \cdot q^{17-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{19}}{b_1 \cdot q^{16}} = q^3$

Согласно условию, $\frac{b_{20}}{b_{17}} = \frac{8}{125}$. Если предположить, что $q^3 = \frac{8}{125}$, то $q = \frac{2}{5}$. При подстановке этих данных в формулу суммы получается значение $b_1 = 7,56$, которого нет среди вариантов ответа. Это указывает на вероятную опечатку в условии. Если предположить, что отношение отрицательное (что также возможно для прогрессии, сумма которой сходится), то можно прийти к одному из предложенных ответов.

Пусть отношение равно $-\frac{8}{125}$. Тогда:

$q^3 = -\frac{8}{125} = (-\frac{2}{5})^3$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:

$q = -\frac{2}{5} = -0,4$

Проверим условие сходимости для суммы бесконечной геометрической прогрессии: $|q| < 1$. В нашем случае $|-0,4| = 0,4$, что меньше 1, следовательно, условие выполняется.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Из условия известно, что сумма $S = 12,6$. Выразим из формулы первый член $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q)$

Подставим известные значения $S$ и $q$:

$b_1 = 12,6 \cdot (1 - (-\frac{2}{5})) = 12,6 \cdot (1 + \frac{2}{5}) = 12,6 \cdot \frac{7}{5}$

Выполним вычисление, представив десятичную дробь в виде обыкновенной:

$b_1 = \frac{126}{10} \cdot \frac{7}{5} = \frac{63}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{441}{25} = 17,64$

Полученный результат $17,64$ соответствует варианту ответа б).

б) 17,64; Ответ: 17