Номер 5, страница 197 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

5. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должна пройти из состояния покоя частица, чтобы в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 80$ мТл, на неё действовала сила Лоренца, модуль которой $F = 20$ мкН. Масса частицы $m = 12$ мг, её заряд $q = 3,0$ мкКл. В магнитное поле частица влетает перпендикулярно линиям индукции.

Дано:

$B = 80 \text{ мТл} = 80 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.08 \text{ Тл}$
$F = 20 \text{ мкН} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$
$m = 12 \text{ мг} = 12 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
$q = 3.0 \text{ мкКл} = 3.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
Частица начинает движение из состояния покоя, $v_0 = 0$.
Частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, $\alpha = 90^\circ$.

Найти:

$U$ — ?

Решение:

Задача состоит из двух этапов: сначала частица ускоряется в электрическом поле, приобретая кинетическую энергию, а затем движется в магнитном поле под действием силы Лоренца.

1. Рассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле. На частицу действует сила Лоренца, модуль которой определяется формулой:

$F = |q|vB\sin\alpha$

где $v$ — скорость частицы, $B$ — модуль индукции магнитного поля, $q$ — заряд частицы, $\alpha$ — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

По условию, частица влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, следовательно, $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Формула упрощается:

$F = qvB$

Из этого выражения мы можем найти скорость, которую имела частица при влёте в магнитное поле:

$v = \frac{F}{qB}$

2. Теперь рассмотрим процесс ускорения частицы. Частица ускоряется из состояния покоя, проходя разность потенциалов $U$. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершённая электрическим полем, равна изменению кинетической энергии частицы:

$A = \Delta E_k = E_k - E_{k0}$

Работа электрического поля по перемещению заряда $q$ через разность потенциалов $U$ равна:

$A = qU$

Начальная кинетическая энергия частицы $E_{k0}$ равна нулю, так как она начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$). Конечная кинетическая энергия $E_k$ равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Таким образом, получаем равенство:

$qU = \frac{mv^2}{2}$

3. Подставим выражение для скорости $v$ из пункта 1 в уравнение для энергии из пункта 2:

$qU = \frac{m}{2} \left(\frac{F}{qB}\right)^2 = \frac{mF^2}{2q^2B^2}$

Отсюда выразим искомую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{mF^2}{2q^3B^2}$

Проведём вычисления, подставив значения в систему СИ:

$U = \frac{12 \cdot 10^{-6} \cdot (20 \cdot 10^{-6})^2}{2 \cdot (3.0 \cdot 10^{-6})^3 \cdot (0.08)^2} = \frac{12 \cdot 10^{-6} \cdot 400 \cdot 10^{-12}}{2 \cdot 27 \cdot 10^{-18} \cdot 0.0064} = \frac{4800 \cdot 10^{-18}}{54 \cdot 10^{-18} \cdot 6.4 \cdot 10^{-3}} = \frac{4800}{345.6 \cdot 10^{-3}} = \frac{4800 \cdot 10^3}{345.6} \approx 13889 \text{ В}$

Результат можно округлить до $13.9$ кВ.

Ответ: ускоряющая разность потенциалов должна быть приблизительно равна $13.9$ кВ.