Номер 497, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

497. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой:

а) $AA_1$ и плоскостью $BC_1D$;

б) $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$;

в) $AB$ и плоскостью $BC_1A_1$;

г) $AA_1$ и плоскостью $BC_1D$.

а) AA₁ и плоскостью BC₁D

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину D куба, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты: D(0, 0, 0), A(a, 0, 0), C(0, a, 0), B(a, a, 0), D₁(0, 0, a), A₁(a, 0, a), C₁(0, a, a), B₁(a, a, a).

Направляющий вектор прямой AA₁ можно найти как разность координат точек A₁ и A: $\vec{v} = \vec{A_1} - \vec{A} = (a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $\vec{v} = (0, 0, 1)$.

Для нахождения уравнения плоскости BC₁D найдем ее вектор нормали $\vec{n}$. Плоскость проходит через точки B(a, a, 0), C₁(0, a, a) и D(0, 0, 0). Два вектора, лежащие в этой плоскости, это $\vec{DB} = (a, a, 0)$ и $\vec{DC_1} = (0, a, a)$. Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен им обоим и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = (a^2, -a^2, a^2)$.

В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{n} = (1, -1, 1)$.

Угол $\theta$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ определяется по формуле: $\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Вычислим скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1$.

Вычислим длины векторов: $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$; $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Подставляем значения в формулу: $\sin\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

б) AC₁ и плоскостью BDD₁

Используем ту же систему координат. Направляющий вектор прямой AC₁ найдем как разность координат точек C₁ и A: $\vec{v} = \vec{C_1} - \vec{A} = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $\vec{v} = (-1, 1, 1)$.

Плоскость BDD₁ проходит через точки B(a, a, 0), D(0, 0, 0) и D₁(0, 0, a). Эта плоскость содержит ось Oz (прямая DD₁) и диагональ основания BD. Ее уравнение имеет вид $x - y = 0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n} = (1, -1, 0)$.

Найдем угол $\theta$ между прямой AC₁ и плоскостью BDD₁, используя ту же формулу:

$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -2$.

Длины векторов: $||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$; $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Подставляем значения в формулу: $\sin\theta = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$

в) AB и плоскостью BC₁A₁

Используем ту же систему координат. Направляющий вектор прямой AB: $\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{v} = (0, 1, 0)$.

Плоскость BC₁A₁ проходит через точки B(a, a, 0), C₁(0, a, a) и A₁(a, 0, a). Найдем ее вектор нормали $\vec{n}$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{A_1B} = (0, a, -a)$ и $\vec{A_1C_1} = (-a, a, 0)$.

Их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1C_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2)$.

В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

Найдем угол $\theta$ между прямой AB и плоскостью BC₁A₁:

$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$.

Длины векторов: $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$; $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Подставляем значения в формулу: $\sin\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

г) AA₁ и плоскостью BC₁D

Данный пункт полностью совпадает с пунктом а). Решение и ответ идентичны.

Используем ту же систему координат с началом в D(0,0,0) и ребрами DA, DC, DD₁ вдоль осей. Координаты вершин: A(a, 0, 0), A₁(a, 0, a), B(a, a, 0), C₁(0, a, a), D(0, 0, 0).

Направляющий вектор прямой AA₁: $\vec{v} = (0, 0, 1)$.

Вектор нормали к плоскости BC₁D: $\vec{n} = (1, -1, 1)$, как было найдено в пункте а).

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью: $\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1$.

$||\vec{v}|| = 1$, $||\vec{n}|| = \sqrt{3}$.

$\sin\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$