Номер 495, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

495. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ диагональ $AC$ основания втрое больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостями:

а) $ACA_1$ и $B_1CE_1$;

б) $ABC$ и $B_1CE_1$;

в) $ADE_1$ и $A_1FD$.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Диагональ основания $AC$ втрое больше бокового ребра. Пусть сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$, а боковое ребро (высота призмы) равно $h$.

В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB=BC=a$ и углом $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$ найдем длину диагонали $AC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда, $AC = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, $AC = 3h$. Следовательно, $a\sqrt{3} = 3h$, что дает нам соотношение между стороной основания и высотой призмы: $a = \frac{3h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Для решения задачи введем систему координат. Поместим центр основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Основание $ABCDEF$ будет лежать в плоскости $xy$. Для удобства выберем $h=1$, тогда $a=\sqrt{3}$.

Координаты вершин основания ($z=0$) и верхнего основания ($z=h=1$):

• $A = (a, 0, 0) = (\sqrt{3}, 0, 0)$
• $B = (a\cos(60^\circ), a\sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0) = (\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$
• $C = (a\cos(120^\circ), a\sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0) = (-\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$
• $D = (-a, 0, 0) = (-\sqrt{3}, 0, 0)$
• $E = (a\cos(240^\circ), a\sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) = (-\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$
• $F = (a\cos(300^\circ), a\sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0) = (\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$
• $A_1 = (\sqrt{3}, 0, 1)$
• $B_1 = (\sqrt{3}/2, 3/2, 1)$
• $C_1 = (-\sqrt{3}/2, 3/2, 1)$
• $D_1 = (-\sqrt{3}, 0, 1)$
• $E_1 = (-\sqrt{3}/2, -3/2, 1)$
• $F_1 = (\sqrt{3}/2, -3/2, 1)$

Угол $\phi$ между двумя плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ по формуле:$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

а) Найдите угол между плоскостями $ACA_1$ и $B_1CE_1$

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ACA_1$. Эта плоскость проходит через точки $A(\sqrt{3}, 0, 0)$, $C(-\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$ и $A_1(\sqrt{3}, 0, 1)$. Найдем два вектора в этой плоскости:$\vec{AC} = C - A = (-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0)$$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0, 0, 1)$Нормальный вектор $\vec{n_1}$ равен их векторному произведению:$\vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AA_1} = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив на $3/2$: $\vec{n_1} = (1, \sqrt{3}, 0)$.

2. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $B_1CE_1$. Эта плоскость проходит через точки $B_1(\sqrt{3}/2, 3/2, 1)$, $C(-\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$ и $E_1(-\sqrt{3}/2, -3/2, 1)$. Найдем два вектора в этой плоскости:$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\sqrt{3}, 0, 1)$$\vec{CE_1} = E_1 - C = (0, -3, 1)$Нормальный вектор $\vec{n_2}$ равен их векторному произведению:$\vec{n_2} = \vec{CB_1} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (0 - (-3))\vec{i} - (\sqrt{3} - 0)\vec{j} + (-3\sqrt{3} - 0)\vec{k} = (3, -\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$.

3. Найдем угол $\phi_a$ между плоскостями.$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(\_3) + (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (0)(-3\sqrt{3}) = 3 - 3 + 0 = 0$. Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит и плоскости перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

б) Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $B_1CE_1$

1. Плоскость $ABC$ — это плоскость основания, $z=0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_3} = (0, 0, 1)$.

2. Нормальный вектор плоскости $B_1CE_1$ был найден в пункте а): $\vec{n_2} = (3, -\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$.

3. Найдем угол $\phi_b$ между плоскостями:$\cos\phi_b = \frac{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_2}|| \cdot ||\vec{n_3}||}$$\vec{n_2} \cdot \vec{n_3} = (3)(0) + (-\sqrt{3})(0) + (-3\sqrt{3})(1) = -3\sqrt{3}$.$||\vec{n_2}|| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3 + 27} = \sqrt{39}$.$||\vec{n_3}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.$\cos\phi_b = \frac{|-3\sqrt{3}|}{\sqrt{39} \cdot 1} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.$\phi_b = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$

в) Найдите угол между плоскостями $ADE_1$ и $A_1FD$

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n_4}$ к плоскости $ADE_1$. Точки: $A(\sqrt{3},0,0)$, $D(-\sqrt{3},0,0)$, $E_1(-\sqrt{3}/2, -3/2, 1)$. Векторы в плоскости:$\vec{DA} = A - D = (2\sqrt{3}, 0, 0)$$\vec{DE_1} = E_1 - D = (\sqrt{3}/2, -3/2, 1)$$\vec{n_4} = \vec{DA} \times \vec{DE_1} = (0, -2\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$. Для удобства используем коллинеарный вектор $\vec{n_4} = (0, 2, 3)$.

2. Найдем нормальный вектор $\vec{n_5}$ к плоскости $A_1FD$. Точки: $A_1(\sqrt{3},0,1)$, $F(\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$, $D(-\sqrt{3},0,0)$. Векторы в плоскости:$\vec{DA_1} = A_1 - D = (2\sqrt{3}, 0, 1)$$\vec{DF} = F - D = (3\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$$\vec{n_5} = \vec{DA_1} \times \vec{DF} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2\sqrt{3} & 0 & 1 \\ 3\sqrt{3}/2 & -3/2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - (-\frac{3}{2}))\vec{i} - (0 - \frac{3\sqrt{3}}{2})\vec{j} + (-3\sqrt{3} - 0)\vec{k} = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, -3\sqrt{3})$. Для удобства используем коллинеарный вектор, умножив на $2$: $\vec{n_5} = (3, 3\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$.

3. Найдем угол $\phi_c$ между плоскостями:$\cos\phi_c = \frac{|\vec{n_4} \cdot \vec{n_5}|}{||\vec{n_4}|| \cdot ||\vec{n_5}||}$$\vec{n_4} \cdot \vec{n_5} = (0)(3) + (2)(3\sqrt{3}) + (3)(-6\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 18\sqrt{3} = -12\sqrt{3}$.$||\vec{n_4}|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.$||\vec{n_5}|| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (-6\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27 + 108} = \sqrt{144} = 12$.$\cos\phi_c = \frac{|-12\sqrt{3}|}{\sqrt{13} \cdot 12} = \frac{12\sqrt{3}}{12\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.$\phi_c = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\right)$