Номер 501, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

501. Все рёбра правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равны, точка $M$ — середина ребра $BB_1$. Найдите угол между прямой:

а) $AA_1$ и плоскостью $BCE_1$;

б) $BC_1$ и плоскостью $AFF_1$;

в) $BD_1$ и плоскостью $ABB_1$;

г) $BE_1$ и плоскостью $ABB_1$;

д) $AM$ и плоскостью $AE_1D$;

е) $DM$ и плоскостью $CEF_1$;

ж) $EM$ и плоскостью $CDF_1$;

з) $DM$ и плоскостью $AFC_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Пусть ребро правильной шестиугольной призмы равно $a$. Для удобства вычислений примем $a=2$. Введем прямоугольную систему координат с началом $O$ в центре нижнего основания $ABCDEF$. Направим ось $Ox$ так, чтобы она проходила через вершину $A$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Тогда вершины призмы и точка $M$ будут иметь следующие координаты:
$A(2, 0, 0)$, $B(1, \sqrt{3}, 0)$, $C(-1, \sqrt{3}, 0)$, $D(-2, 0, 0)$, $E(-1, -\sqrt{3}, 0)$, $F(1, -\sqrt{3}, 0)$.
$A_1(2, 0, 2)$, $B_1(1, \sqrt{3}, 2)$, $C_1(-1, \sqrt{3}, 2)$, $D_1(-2, 0, 2)$, $E_1(-1, -\sqrt{3}, 2)$, $F_1(1, -\sqrt{3}, 2)$.
Точка $M$ — середина ребра $BB_1$, ее координаты: $M\left(\frac{1+1}{2}, \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, \sqrt{3}, 1)$.
Угол $\theta$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ находится по формуле:
$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$.

а) AA₁ и плоскостью BCE₁
1. Направляющий вектор прямой $AA_1$: $\vec{v} = \vec{AA_1} = (2-2, 0-0, 2-0) = (0, 0, 2)$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $\vec{v} = (0, 0, 1)$.
2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$. Плоскость проходит через точки $B(1, \sqrt{3}, 0)$, $C(-1, \sqrt{3}, 0)$ и $E_1(-1, -\sqrt{3}, 2)$. Два вектора в плоскости: $\vec{BC} = (-2, 0, 0)$ и $\vec{BE_1} = (-2, -2\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = (0, 4, 4\sqrt{3})$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $\vec{n} = (0, 1, \sqrt{3})$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = 1$, $|\vec{n}| = \sqrt{0^2+1^2+(\sqrt{3})^2} = 2$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) BC₁ и плоскостью AFF₁
1. Направляющий вектор прямой $BC_1$: $\vec{v} = \vec{BC_1} = (-1-1, \sqrt{3}-\sqrt{3}, 2-0) = (-2, 0, 2)$. Возьмем $\vec{v} = (-1, 0, 1)$.
2. Плоскость $AFF_1$ является боковой гранью $AFF_1A_1$. Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{AF} = (-1, -\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{AA_1} = (0, 0, 2)$.
$\vec{n} = \vec{AF} \times \vec{AA_1} = (-2\sqrt{3}, 2, 0)$. Возьмем $\vec{n} = (-\sqrt{3}, 1, 0)$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.$|\vec{n}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2+0^2} = 2$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

в) BD₁ и плоскостью ABB₁
1. Направляющий вектор прямой $BD_1$: $\vec{v} = \vec{BD_1} = (-2-1, 0-\sqrt{3}, 2-0) = (-3, -\sqrt{3}, 2)$.
2. Плоскость $ABB_1$ является боковой гранью $ABB_1A_1$. Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{AB} = (-1, \sqrt{3}, 0)$ и $\vec{AA_1} = (0, 0, 2)$.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AA_1} = (2\sqrt{3}, 2, 0)$. Возьмем $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, 0)$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2+(-\sqrt{3})^2+2^2} = \sqrt{9+3+4} = \sqrt{16} = 4$.$|\vec{n}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2} = 2$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-3)(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(1) + 2 \cdot 0 = -4\sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|-4\sqrt{3}|}{4 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

г) BE₁ и плоскостью ABB₁
1. Направляющий вектор прямой $BE_1$: $\vec{v} = \vec{BE_1} = (-1-1, -\sqrt{3}-\sqrt{3}, 2-0) = (-2, -2\sqrt{3}, 2)$. Возьмем $\vec{v} = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.
2. Вектор нормали к плоскости $ABB_1$ из пункта (в): $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, 0)$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$.$|\vec{n}| = 2$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(1) + 1 \cdot 0 = -2\sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$.

д) AM и плоскостью AE₁D
1. Направляющий вектор прямой $AM$: $\vec{v} = \vec{AM} = (1-2, \sqrt{3}-0, 1-0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$.
2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AE_1D$. Два вектора в плоскости: $\vec{AD} = (-4, 0, 0)$ и $\vec{AE_1} = (-3, -\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n} = \vec{AD} \times \vec{AE_1} = (0, 8, 4\sqrt{3})$. Возьмем $\vec{n} = (0, 2, \sqrt{3})$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{5}$.$|\vec{n}| = \sqrt{0^2+2^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(0) + (\sqrt{3})(2) + 1(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{35}} = \frac{3\sqrt{105}}{35}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{105}}{35}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{3\sqrt{105}}{35}\right)$.

е) DM и плоскостью CEF₁
1. Направляющий вектор прямой $DM$: $\vec{v} = \vec{DM} = (1-(-2), \sqrt{3}-0, 1-0) = (3, \sqrt{3}, 1)$.
2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $CEF_1$. Два вектора в плоскости: $\vec{CE} = (0, -2\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{CF_1} = (2, -2\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n} = \vec{CE} \times \vec{CF_1} = (-4\sqrt{3}, 0, 4\sqrt{3})$. Возьмем $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{9+3+1} = \sqrt{13}$.$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = (3)(-1) + (\sqrt{3})(0) + 1 \cdot 1 = -2$.
$\sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{13}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{26}}{13}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{26}}{13}\right)$.

ж) EM и плоскостью CDF₁
1. Направляющий вектор прямой $EM$: $\vec{v} = \vec{EM} = (1-(-1), \sqrt{3}-(-\sqrt{3}), 1-0) = (2, 2\sqrt{3}, 1)$.
2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $CDF_1$. Два вектора в плоскости: $\vec{CD} = (-1, -\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{CF_1} = (2, -2\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CF_1} = (-2\sqrt{3}, 2, 4\sqrt{3})$. Возьмем $\vec{n} = (-\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{4+12+1} = \sqrt{17}$.$|\vec{n}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+1+12} = \sqrt{16} = 4$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = 2(-\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})(1) + 1(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{17} \cdot 4} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{51}}{34}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{51}}{34}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{51}}{34}\right)$.

з) DM и плоскостью AFC₁
1. Направляющий вектор прямой $DM$ из пункта (е): $\vec{v} = (3, \sqrt{3}, 1)$.
2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AFC_1$. Два вектора в плоскости: $\vec{AF} = (-1, -\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{AC_1} = (-3, \sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n} = \vec{AF} \times \vec{AC_1} = (-2\sqrt{3}, 2, -4\sqrt{3})$. Возьмем $\vec{n} = (-\sqrt{3}, 1, -2\sqrt{3})$.
3. Вычислим угол:$|\vec{v}| = \sqrt{13}$.$|\vec{n}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+1+12} = 4$.$\vec{v} \cdot \vec{n} = 3(-\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(1) + 1(-2\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{13} \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}$. Искомый угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{39}}{13}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{39}}{13}\right)$.