Номер 507, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

507. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точка $M$ — середина ребра $SA$, $MA = AB = a$. Найдите расстояние от точки:

а) $M$ до прямой $BC$;

б) $M$ до прямой $BD$;

в) $M$ до прямой $CD$;

г) $C$ до прямой $ME$;

д) $F$ до прямой $BM$;

е) $F$ до прямой $CM$;

ж) $E$ до прямой $BM$;

з) $E$ до прямой $CM$.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Пусть центр основания пирамиды, правильного шестиугольника $ABCDEF$, совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, а ось $Oz$ — вдоль высоты пирамиды $SO$.

Сторона основания $AB = a$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a$. Точка $M$ — середина ребра $SA$, и по условию $MA = a$, следовательно, длина бокового ребра $SA = 2 \cdot MA = 2a$. Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны $2a$. Высоту пирамиды $h = SO$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:
$SO^2 = SA^2 - OA^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2 \Rightarrow SO = a\sqrt{3}$.

Теперь определим координаты необходимых точек:
$A = (a, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
$C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
$E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
$S = (0, 0, a\sqrt{3})$
$M$ — середина $SA$, поэтому $M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}}{2}\right) = (a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.

Расстояние $\rho$ от точки $P$ до прямой, проходящей через точки $Q$ и $R$, вычисляется по формуле: $\rho = \frac{|\vec{QP} \times \vec{QR}|}{|\vec{QR}|}$.

а) Найдите расстояние от точки M до прямой BC.
Точки: $P=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $Q=B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.
Векторы: $\vec{BM} = (0, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$, $\vec{BC} = (-a, 0, 0)$.
Векторное произведение: $\vec{BM} \times \vec{BC} = (0, -a^2\sqrt{3}/2, -a^2\sqrt{3}/2)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BM} \times \vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-a^2\sqrt{3}/2)^2 + (-a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{BC}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = a$.
Искомое расстояние: $\rho(M, BC) = \frac{a^2\sqrt{6}/2}{a} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD.
Точки: $P=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $Q=B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=D(-a, 0, 0)$.
Векторы: $\vec{BM} = (0, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$, $\vec{BD} = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.
Векторное произведение: $\vec{BM} \times \vec{BD} = (3a^2/4, -3a^2\sqrt{3}/4, -3a^2\sqrt{3}/4)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BM} \times \vec{BD}| = \sqrt{(\frac{3a^2}{4})^2 + (-\frac{3a^2\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{3a^2\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{16} + \frac{27a^4}{16} + \frac{27a^4}{16}} = \sqrt{\frac{63a^4}{16}} = \frac{3a^2\sqrt{7}}{4}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{BD}| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Искомое расстояние: $\rho(M, BD) = \frac{3a^2\sqrt{7}/4}{a\sqrt{3}} = \frac{3a\sqrt{7}}{4\sqrt{3}} = \frac{3a\sqrt{21}}{12} = \frac{a\sqrt{21}}{4}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{21}}{4}$

в) Найдите расстояние от точки M до прямой CD.
Точки: $P=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $Q=C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=D(-a, 0, 0)$.
Векторы: $\vec{CM} = (a, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$, $\vec{CD} = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.
Векторное произведение: $\vec{CM} \times \vec{CD} = (3a^2/4, -a^2\sqrt{3}/4, -3a^2\sqrt{3}/4)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{CM} \times \vec{CD}| = \sqrt{(\frac{3a^2}{4})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{3a^2\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{16} + \frac{3a^4}{16} + \frac{27a^4}{16}} = \sqrt{\frac{39a^4}{16}} = \frac{a^2\sqrt{39}}{4}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{CD}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = a$.
Искомое расстояние: $\rho(M, CD) = \frac{a^2\sqrt{39}/4}{a} = \frac{a\sqrt{39}}{4}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{39}}{4}$

г) Найдите расстояние от точки C до прямой ME.
Точки: $P=C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $Q=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $R=E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.
Векторы: $\vec{MC} = (-a, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3}/2)$, $\vec{ME} = (-a, -a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3}/2)$.
Векторное произведение: $\vec{MC} \times \vec{ME} = (-3a^2/2, 0, a^2\sqrt{3})$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{MC} \times \vec{ME}| = \sqrt{(-\frac{3a^2}{2})^2 + 0^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{4} + 3a^4} = \sqrt{\frac{21a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{21}}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{ME}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{10a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$.
Искомое расстояние: $\rho(C, ME) = \frac{a^2\sqrt{21}/2}{a\sqrt{10}/2} = \frac{a\sqrt{21}}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{210}}{10}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{210}}{10}$

д) Найдите расстояние от точки F до прямой BM.
Точки: $P=F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$, $Q=B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.
Векторы: $\vec{BF} = (0, -a\sqrt{3}, 0)$, $\vec{BM} = (0, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$.
Векторное произведение: $\vec{BF} \times \vec{BM} = (-3a^2/2, 0, 0)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BF} \times \vec{BM}| = \sqrt{(-\frac{3a^2}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{3a^2}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{BM}| = \sqrt{0^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Искомое расстояние: $\rho(F, BM) = \frac{3a^2/2}{a\sqrt{6}/2} = \frac{3a}{\sqrt{6}} = \frac{3a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

е) Найдите расстояние от точки F до прямой CM.
Точки: $P=F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$, $Q=C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.
Векторы: $\vec{CF} = (a, -a\sqrt{3}, 0)$, $\vec{CM} = (a, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$.
Векторное произведение: $\vec{CF} \times \vec{CM} = (-3a^2/2, -a^2\sqrt{3}/2, a^2\sqrt{3}/2)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{CF} \times \vec{CM}| = \sqrt{(-\frac{3a^2}{2})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{4} + \frac{3a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{\frac{15a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{15}}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{CM}| = \sqrt{a^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{10a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$.
Искомое расстояние: $\rho(F, CM) = \frac{a^2\sqrt{15}/2}{a\sqrt{10}/2} = \frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

ж) Найдите расстояние от точки E до прямой BM.
Точки: $P=E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$, $Q=B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.
Векторы: $\vec{BE} = (-a, -a\sqrt{3}, 0)$, $\vec{BM} = (0, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$.
Векторное произведение: $\vec{BE} \times \vec{BM} = (-3a^2/2, a^2\sqrt{3}/2, a^2\sqrt{3}/2)$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BE} \times \vec{BM}| = \sqrt{(-\frac{3a^2}{2})^2 + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{4} + \frac{3a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{\frac{15a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{15}}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{BM}| = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ (из пункта д).
Искомое расстояние: $\rho(E, BM) = \frac{a^2\sqrt{15}/2}{a\sqrt{6}/2} = \frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{6}} = a\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{10}}{2}$

з) Найдите расстояние от точки E до прямой CM.
Точки: $P=E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$, $Q=C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $R=M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.
Векторы: $\vec{CE} = (0, -a\sqrt{3}, 0)$, $\vec{CM} = (a, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$.
Векторное произведение: $\vec{CE} \times \vec{CM} = (-3a^2/2, 0, a^2\sqrt{3})$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{CE} \times \vec{CM}| = \sqrt{(-\frac{3a^2}{2})^2 + 0^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{4} + 3a^4} = \sqrt{\frac{21a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{21}}{2}$.
Модуль направляющего вектора: $|\vec{CM}| = \frac{a\sqrt{10}}{2}$ (из пункта е).
Искомое расстояние: $\rho(E, CM) = \frac{a^2\sqrt{21}/2}{a\sqrt{10}/2} = \frac{a\sqrt{21}}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{210}}{10}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{210}}{10}$