Номер 513, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

513. Все рёбра правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ равны $a$, точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки:

а) $A$ до плоскости $BCE_1$;

б) $A_1$ до плоскости $BCF_1$;

в) $D_1$ до плоскости $ACE_1$;

г) $F$ до плоскости $ACE_1$;

д) $M$ до плоскости $BCE_1$;

е) $M$ до плоскости $BCF_1$;

ж) $M$ до плоскости $ACE_1$;

з) $M$ до плоскости $AFC_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$, совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, а ось $Oz$ направлена вдоль высоты призмы. Поскольку призма правильная и все ребра равны $a$, высота призмы равна $a$, а сторона основания также равна $a$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне, то есть $a$. Разместим вершины на плоскости $Oxy$ следующим образом:

• $A(a, 0, 0)$
• $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D(-a, 0, 0)$
• $E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются сдвигом по оси $Oz$ на $a$:

• $A_1(a, 0, a)$
• $B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $D_1(-a, 0, a)$
• $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, ее координаты: $M = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = (a, 0, a/2)$.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, вычисляется по формуле:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а) Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $BCE_1$. Сначала составим уравнение плоскости $BCE_1$. Найдем два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{BC} = C - B = (-a, 0, 0)$ $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-a, -a\sqrt{3}, a)$ Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение: $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = (0, a^2, a^2\sqrt{3})$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор, разделив на $a^2$: $\vec{n'} = (0, 1, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости имеет вид $y + \sqrt{3}z + D = 0$. Подставим координаты точки $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, чтобы найти $D$: $a\sqrt{3}/2 + \sqrt{3} \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -a\sqrt{3}/2$. Уравнение плоскости $BCE_1$: $y + \sqrt{3}z - a\sqrt{3}/2 = 0$. Расстояние от точки $A(a, 0, 0)$ до этой плоскости: $d = \frac{|1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 - a\sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-a\sqrt{3}/2|}{\sqrt{1+3}} = \frac{a\sqrt{3}/2}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

б) Найдем расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCF_1$. Заметим, что прямая $BC$ параллельна прямой $E_1F_1$, так как обе они параллельны оси $Ox$. Следовательно, точки $B, C, E_1, F_1$ лежат в одной плоскости. Это значит, что плоскость $BCF_1$ совпадает с плоскостью $BCE_1$ из пункта а). Уравнение плоскости $BCF_1$ такое же: $y + \sqrt{3}z - a\sqrt{3}/2 = 0$. Расстояние от точки $A_1(a, 0, a)$ до этой плоскости: $d = \frac{|1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot a - a\sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|a\sqrt{3} - a\sqrt{3}/2|}{\sqrt{4}} = \frac{|a\sqrt{3}/2|}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

в) Найдем расстояние от точки $D_1$ до плоскости $ACE_1$. Составим уравнение плоскости $ACE_1$. Векторы: $\vec{AC} = C - A = (-3a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ $\vec{AE_1} = E_1 - A = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$ Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AE_1} = (a^2\sqrt{3}/2, 3a^2/2, 3a^2\sqrt{3}/2)$. Упрощенный нормальный вектор: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3})$. Уравнение плоскости: $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z + D = 0$. Подставим точку $A(a, 0, 0)$: $\sqrt{3}a + D = 0 \Rightarrow D = -a\sqrt{3}$. Уравнение плоскости $ACE_1$: $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z - a\sqrt{3} = 0$. Расстояние от точки $D_1(-a, 0, a)$ до плоскости: $d = \frac{|\sqrt{3}(-a) + 3 \cdot 0 + 3\sqrt{3}(a) - a\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (3\sqrt{3})^2}} = \frac{|-a\sqrt{3} + 3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9+27}} = \frac{|a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{13}} = \frac{a}{\sqrt{13}} = \frac{a\sqrt{13}}{13}$. Ответ: $\frac{a\sqrt{13}}{13}$.

г) Найдем расстояние от точки $F$ до плоскости $ACE_1$. Используем уравнение плоскости $ACE_1$ из пункта в): $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z - a\sqrt{3} = 0$. Расстояние от точки $F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ до этой плоскости: $d = \frac{|\sqrt{3}(a/2) + 3(-a\sqrt{3}/2) + 3\sqrt{3}(0) - a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{|a\sqrt{3}/2 - 3a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{|-a\sqrt{3} - a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{|-2a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{39}} = \frac{2a}{\sqrt{13}} = \frac{2a\sqrt{13}}{13}$. Ответ: $\frac{2a\sqrt{13}}{13}$.

д) Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости $BCE_1$. Используем уравнение плоскости $BCE_1$ из пункта а): $y + \sqrt{3}z - a\sqrt{3}/2 = 0$. Подставим координаты точки $M(a, 0, a/2)$ в левую часть уравнения: $0 + \sqrt{3}(a/2) - a\sqrt{3}/2 = a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2 = 0$. Поскольку координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению плоскости, точка $M$ лежит в этой плоскости. Расстояние равно нулю. Ответ: $0$.

е) Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости $BCF_1$. Как было показано в пункте б), плоскость $BCF_1$ совпадает с плоскостью $BCE_1$. В пункте д) мы выяснили, что точка $M$ лежит в этой плоскости. Следовательно, расстояние также равно нулю. Ответ: $0$.

ж) Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости $ACE_1$. Используем уравнение плоскости $ACE_1$ из пункта в): $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z - a\sqrt{3} = 0$. Расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до этой плоскости: $d = \frac{|\sqrt{3}(a) + 3(0) + 3\sqrt{3}(a/2) - a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{|a\sqrt{3} + 3a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}|}{\sqrt{39}} = \frac{|3a\sqrt{3}/2|}{\sqrt{39}} = \frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{39}} = \frac{3a}{2\sqrt{13}} = \frac{3a\sqrt{13}}{26}$. Ответ: $\frac{3a\sqrt{13}}{26}$.

з) Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости $AFC_1$. Составим уравнение плоскости $AFC_1$. Векторы: $\vec{AF} = F - A = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ $\vec{AC_1} = C_1 - A = (-3a/2, a\sqrt{3}/2, a)$ Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{AF} \times \vec{AC_1} = (-a^2\sqrt{3}/2, a^2/2, -a^2\sqrt{3})$. Упрощенный нормальный вектор: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{3})$. Уравнение плоскости: $\sqrt{3}x - y + 2\sqrt{3}z + D = 0$. Подставим точку $A(a, 0, 0)$: $\sqrt{3}a + D = 0 \Rightarrow D = -a\sqrt{3}$. Уравнение плоскости $AFC_1$: $\sqrt{3}x - y + 2\sqrt{3}z - a\sqrt{3} = 0$. Расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до плоскости: $d = \frac{|\sqrt{3}(a) - 0 + 2\sqrt{3}(a/2) - a\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{|a\sqrt{3} + a\sqrt{3} - a\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1+12}} = \frac{|a\sqrt{3}|}{\sqrt{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.