Номер 509, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

509. В треугольной пирамиде $SABC$ все плоские углы при вершине $S$ прямые, рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Найдите:

а) высоту пирамиды, проведённую из вершины $S$;

б) длину отрезка $SK$, где $K$ — точка плоскости $ABC$, равноудалённая от трёх других граней пирамиды.

а)

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $S$. Так как все плоские углы при вершине $S$ являются прямыми, мы можем направить оси координат вдоль ребер $SA$, $SB$ и $SC$. В этом случае вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

$S(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$.

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$. Уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, в отрезках на осях имеет вид:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Высота пирамиды $h$, проведенная из вершины $S$, — это перпендикуляр, опущенный из точки $S(0, 0, 0)$ на плоскость $ABC$. Длина этого перпендикуляра (расстояние от точки до плоскости) вычисляется по формуле. Для плоскости, заданной в общем виде $Px + Qy + Rz + D = 0$, расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ равно $\frac{|Px_0 + Qy_0 + Rz_0 + D|}{\sqrt{P^2 + Q^2 + R^2}}$.

Приведем уравнение плоскости $ABC$ к общему виду: $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y + \frac{1}{c}z - 1 = 0$.

Тогда высота $h$ из точки $S(0, 0, 0)$ равна:

$h = \frac{|\frac{1}{a} \cdot 0 + \frac{1}{b} \cdot 0 + \frac{1}{c} \cdot 0 - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$

Упростим полученное выражение:

$h = \frac{1}{\sqrt{\frac{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}{a^2b^2c^2}}} = \frac{\sqrt{a^2b^2c^2}}{\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}$

Ответ: $\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}$

б)

Точка $K$ лежит в плоскости $ABC$ и равноудалена от трёх других граней пирамиды: $SAB$, $SBC$ и $SAC$. В выбранной системе координат плоскости этих граней задаются уравнениями:

• Плоскость $SAB$: $z=0$
• Плоскость $SBC$: $x=0$
• Плоскость $SAC$: $y=0$

Пусть точка $K$ имеет координаты $(x_K, y_K, z_K)$. Расстояние от точки $K$ до этих трёх плоскостей равно соответственно $|z_K|$, $|x_K|$ и $|y_K|$. По условию, эти расстояния равны. Так как пирамида расположена в первом октанте пространства (где все координаты неотрицательны), то и точка $K$ должна иметь положительные координаты. Следовательно, $x_K = y_K = z_K$. Обозначим это расстояние через $d$. Таким образом, точка $K$ имеет координаты $(d, d, d)$.

Поскольку точка $K$ принадлежит плоскости $ABC$, её координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости:

$\frac{x_K}{a} + \frac{y_K}{b} + \frac{z_K}{c} = 1$

Подставим координаты точки $K$:

$\frac{d}{a} + \frac{d}{b} + \frac{d}{c} = 1$

Вынесем $d$ за скобки и выразим его:

$d \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 1 \implies d = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

Приводя знаменатель к общему, получаем:

$d = \frac{1}{\frac{bc+ac+ab}{abc}} = \frac{abc}{ab+bc+ca}$

Нам нужно найти длину отрезка $SK$. Так как $S$ — это начало координат $(0, 0, 0)$, а $K$ имеет координаты $(d, d, d)$, то длина $SK$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$SK = \sqrt{(d-0)^2 + (d-0)^2 + (d-0)^2} = \sqrt{d^2+d^2+d^2} = \sqrt{3d^2} = d\sqrt{3}$

Подставим найденное значение $d$:

$SK = \frac{abc\sqrt{3}}{ab+bc+ca}$

Ответ: $\frac{abc\sqrt{3}}{ab+bc+ca}$