Номер 505, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

505. Все рёбра правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равны $a$, точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки:

а) $A$ до прямой $BC_1$;

б) $A_1$ до прямой $BF_1$;

в) $D_1$ до прямой $AE_1$;

г) $D$ до прямой $AE_1$;

д) $M$ до прямой $BE_1$;

е) $M$ до прямой $BF_1$;

ж) $M$ до прямой $FD_1$;

з) $M$ до прямой $F_1C$.

Для решения всех пунктов задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы. Ось $Ox$ направим через вершину $A$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку все ребра призмы равны $a$, координаты вершин будут следующими:

Вершины нижнего основания ($z=0$):

• $A(a, 0, 0)$
• $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
• $E(a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания ($z=a$):

• $A_1(a, 0, a)$
• $B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $D_1(-a, 0, a)$
• $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, ее координаты: $M\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = (a, 0, a/2)$.

Расстояние от точки $P$ до прямой, проходящей через точки $Q$ и $R$, находится по формуле: $d = \frac{|\vec{QP} \times \vec{QR}|}{|\vec{QR}|}$.

а) A до прямой BC₁

Ищем расстояние от точки $A(a, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и $C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$.

Направляющий вектор прямой $BC_1$: $\vec{BC_1} = C_1 - B = (-a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (-a, 0, a)$.

Его модуль: $|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Вектор от точки $B$ на прямой до точки $A$: $\vec{BA} = A - B = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, 0 - 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение: $\vec{BA} \times \vec{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & -a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = (-a^2\sqrt{3}/2, -a^2/2, -a^2\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BA} \times \vec{BC_1}| = \sqrt{(-a^2\sqrt{3}/2)^2 + (-a^2/2)^2 + (-a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{4} + \frac{a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{a^2\sqrt{7}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{14}}{4}$.

б) A₁ до прямой BF₁

Ищем расстояние от точки $A_1(a, 0, a)$ до прямой, проходящей через $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Направляющий вектор прямой $BF_1$: $\vec{BF_1} = F_1 - B = (a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (0, -a\sqrt{3}, a)$.

Его модуль: $|\vec{BF_1}| = \sqrt{0^2 + (-a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$.

Вектор $\vec{BA_1} = A_1 - B = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение: $\vec{BA_1} \times \vec{BF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & -a\sqrt{3}/2 & a \\ 0 & -a\sqrt{3} & a \end{vmatrix} = (a^2\sqrt{3}/2, -a^2/2, -a^2\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BA_1} \times \vec{BF_1}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3}/2)^2 + (-a^2/2)^2 + (-a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{4} + \frac{a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{a^2\sqrt{7}/2}{2a} = \frac{a\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{7}}{4}$.

в) D₁ до прямой AE₁

Ищем расстояние от точки $D_1(-a, 0, a)$ до прямой, проходящей через $A(a, 0, 0)$ и $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Направляющий вектор прямой $AE_1$: $\vec{AE_1} = E_1 - A = (-a/2 - a, -a\sqrt{3}/2 - 0, a - 0) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Его модуль: $|\vec{AE_1}| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-a - a, 0 - 0, a - 0) = (-2a, 0, a)$.

Векторное произведение: $\vec{AD_1} \times \vec{AE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2a & 0 & a \\ -3a/2 & -a\sqrt{3}/2 & a \end{vmatrix} = (a^2\sqrt{3}/2, a^2/2, a^2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AD_1} \times \vec{AE_1}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{4} + \frac{a^4}{4} + 3a^4} = \sqrt{a^4 + 3a^4} = 2a^2$.

Расстояние: $d = \frac{2a^2}{2a} = a$.

Ответ: $a$.

г) D до прямой AE₁

Ищем расстояние от точки $D(-a, 0, 0)$ до прямой $AE_1$. Используем данные из предыдущего пункта.

Вектор $\vec{AD} = D - A = (-a - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-2a, 0, 0)$.

Векторное произведение: $\vec{AD} \times \vec{AE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2a & 0 & 0 \\ -3a/2 & -a\sqrt{3}/2 & a \end{vmatrix} = (0, 2a^2, a^2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AD} \times \vec{AE_1}| = \sqrt{0^2 + (2a^2)^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^4 + 3a^4} = a^2\sqrt{7}$.

Расстояние: $d = \frac{a^2\sqrt{7}}{|\vec{AE_1}|} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2a} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

д) M до прямой BE₁

Ищем расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до прямой, проходящей через $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Направляющий вектор прямой $BE_1$: $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-a, -a\sqrt{3}, a)$.

Его модуль: $|\vec{BE_1}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2 + a^2} = a\sqrt{5}$.

Вектор $\vec{BM} = M - B = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a/2 - 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a/2)$.

Векторное произведение: $\vec{BM} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & -a\sqrt{3}/2 & a/2 \\ -a & -a\sqrt{3} & a \end{vmatrix} = (0, -a^2, -a^2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BM} \times \vec{BE_1}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + (-a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^4 + 3a^4} = 2a^2$.

Расстояние: $d = \frac{2a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

е) M до прямой BF₁

Ищем расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до прямой $BF_1$. Используем вектор $\vec{BF_1}$ из пункта б).

$\vec{BF_1} = (0, -a\sqrt{3}, a)$, $|\vec{BF_1}| = 2a$.

Вектор $\vec{BM} = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a/2)$ из пункта д).

Векторное произведение: $\vec{BM} \times \vec{BF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & -a\sqrt{3}/2 & a/2 \\ 0 & -a\sqrt{3} & a \end{vmatrix} = (0, -a^2/2, -a^2\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BM} \times \vec{BF_1}| = \sqrt{0^2 + (-a^2/2)^2 + (-a^2\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = a^2$.

Расстояние: $d = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$.

Ответ: $\frac{a}{2}$.

ж) M до прямой FD₁

Ищем расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до прямой, проходящей через $F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ и $D_1(-a, 0, a)$.

Направляющий вектор прямой $FD_1$: $\vec{FD_1} = D_1 - F = (-3a/2, a\sqrt{3}/2, a)$.

Его модуль: $|\vec{FD_1}| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = 2a$.

Вектор $\vec{FM} = M - F = (a/2, a\sqrt{3}/2, a/2)$.

Векторное произведение: $\vec{FM} \times \vec{FD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & a/2 \\ -3a/2 & a\sqrt{3}/2 & a \end{vmatrix} = (a^2\sqrt{3}/4, -5a^2/4, a^2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{FM} \times \vec{FD_1}| = \sqrt{(\frac{a^2\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{5a^2}{4})^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{16} + \frac{25a^4}{16} + 3a^4} = \sqrt{\frac{28a^4}{16} + \frac{48a^4}{16}} = \sqrt{\frac{76a^4}{16}} = \frac{a^2\sqrt{19}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{a^2\sqrt{19}/2}{2a} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{19}}{4}$.

з) M до прямой F₁C

Ищем расстояние от точки $M(a, 0, a/2)$ до прямой, проходящей через $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$ и $C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Направляющий вектор прямой $F_1C$: $\vec{F_1C} = C - F_1 = (-a, a\sqrt{3}, -a)$.

Его модуль: $|\vec{F_1C}| = \sqrt{(-a)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2 + a^2} = a\sqrt{5}$.

Вектор $\vec{F_1M} = M - F_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a/2)$.

Векторное произведение: $\vec{F_1M} \times \vec{F_1C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a/2 \\ -a & a\sqrt{3} & -a \end{vmatrix} = (0, a^2, a^2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{F_1M} \times \vec{F_1C}| = \sqrt{0^2 + (a^2)^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^4 + 3a^4} = 2a^2$.

Расстояние: $d = \frac{2a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.