Номер 499, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

499. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $K, P, M$ — середины рёбер $AD, AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Зная, что $AA_1 : AB = \sqrt{6} : 1$, найдите угол между прямой:

a) $DD_1$ и плоскостью $KPM$;

б) $AC_1$ и плоскостью $KPM$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке A, ось Ox направлена вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AA₁.

Так как призма правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат ABCD. По условию задано соотношение $AA_1 : AB = \sqrt{6} : 1$. Для удобства вычислений, не нарушая общности, примем длину стороны основания AB равной 2. Тогда $AB = AD = 2$, а высота призмы $AA_1 = 2\sqrt{6}$.

В выбранной системе координат найдем координаты вершин призмы и заданных точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• $D(0, 2, 0)$
• $A_1(0, 0, 2\sqrt{6})$
• $B_1(2, 0, 2\sqrt{6})$
• $C_1(2, 2, 2\sqrt{6})$
• $D_1(0, 2, 2\sqrt{6})$

Точки K, P, M — середины рёбер AD, AB и A₁B₁ соответственно:

• K — середина AD: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 1, 0)$
• P — середина AB: $P = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0, 0)$
• M — середина A₁B₁: $M = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{2}) = (1, 0, 2\sqrt{6})$

а) DD₁ и плоскостью KPM

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Синус этого угла можно найти по формуле: $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{v}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $DD_1$.

$\vec{v} = \vec{D_1} - \vec{D} = (0-0, 2-2, 2\sqrt{6}-0) = (0, 0, 2\sqrt{6})$.

В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор, например, $\vec{v'} = (0, 0, 1)$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $KPM$.

Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{PK}$ и $\vec{PM}$.

$\vec{PK} = \vec{K} - \vec{P} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$.

$\vec{PM} = \vec{M} - \vec{P} = (1-1, 0-0, 2\sqrt{6}-0) = (0, 0, 2\sqrt{6})$.

Вектор нормали $\vec{n}$ является векторным произведением векторов $\vec{PK}$ и $\vec{PM}$:

$\vec{n} = \vec{PK} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{6} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2\sqrt{6} - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2\sqrt{6} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (2\sqrt{6}, 2\sqrt{6}, 0)$.

В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив на $2\sqrt{6}$: $\vec{n'} = (1, 1, 0)$.

3. Вычислим угол $\alpha$.

$\sin \alpha = \frac{|\vec{v'} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{v'}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{|(0 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{|0|}{1 \cdot \sqrt{2}} = 0$.

Так как $\sin \alpha = 0$, то угол $\alpha = 0^\circ$. Это означает, что прямая $DD_1$ параллельна плоскости $KPM$.

Ответ: $0^\circ$.

б) AC₁ и плоскостью KPM

Воспользуемся тем же методом. Пусть искомый угол равен $\beta$.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{u}$ прямой $AC_1$.

$\vec{u} = \vec{C_1} - \vec{A} = (2-0, 2-0, 2\sqrt{6}-0) = (2, 2, 2\sqrt{6})$.

В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор, разделив на 2: $\vec{u'} = (1, 1, \sqrt{6})$.

2. Вектор нормали к плоскости $KPM$ нам уже известен из пункта а): $\vec{n'} = (1, 1, 0)$.

3. Вычислим угол $\beta$.

$\sin \beta = \frac{|\vec{u'} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{u'}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{|(1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (\sqrt{6} \cdot 0)|}{\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{6})^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1+1+6} \cdot \sqrt{1+1+0}} = \frac{2}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Так как $\sin \beta = \frac{1}{2}$, то угол $\beta = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.