Номер 494, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

494. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро основания равно 2, боковое ребро равно 3, точка $K$ на ребре $AA_1$ отмечена так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Найдите угол между плоскостями:

a) $ABC$ и $BKC_1$;

б) $AA_1C$ и $BKC_1$;

в) $ABC$ и $BKD_1$.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину A. Ось Ox направим вдоль ребра AD, ось Oy — вдоль ребра AB, ось Oz — вдоль бокового ребра AA₁.

Так как призма правильная, в ее основании лежит квадрат ABCD. По условию, ребро основания равно 2, а боковое ребро равно 3. Таким образом, $AB = AD = 2$ и $AA_1 = 3$.

Найдем координаты вершин призмы:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, 2, 0)$
• $C(2, 2, 0)$
• $D(2, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, 3)$
• $B_1(0, 2, 3)$
• $C_1(2, 2, 3)$
• $D_1(2, 0, 3)$

Точка K лежит на ребре $AA_1$ и делит его в отношении $AK : KA_1 = 1 : 2$. Так как длина $AA_1$ равна 3, то $AK = \frac{1}{1+2} \cdot 3 = 1$. Следовательно, координаты точки K: $K(0, 0, 1)$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Для нахождения угла $\phi$ между плоскостями будем использовать формулу:$\cos \phi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$, где $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ — нормальные векторы плоскостей.

а) ABC и BKC₁

Плоскость ABC — это плоскость основания, которая в нашей системе координат совпадает с плоскостью Oxy. Ее уравнение $z = 0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BKC_1$. Эта плоскость проходит через точки $B(0, 2, 0)$, $K(0, 0, 1)$ и $C_1(2, 2, 3)$. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:$\vec{BK} = K - B = (0-0, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$$\vec{BC_1} = C_1 - B = (2-0, 2-2, 3-0) = (2, 0, 3)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BKC_1}$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BC_1}$:$\vec{n}_{BKC_1} = \vec{BK} \times \vec{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-6-0) - \mathbf{j}(0-2) + \mathbf{k}(0-(-4)) = (-6, 2, 4)$. Для удобства расчетов можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на -2: $\vec{n'}_{BKC_1} = (3, -1, -2)$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между плоскостями $ABC$ и $BKC_1$:$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{BKC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{BKC_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (3, -1, -2)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{|0 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2)|}{1 \cdot \sqrt{9+1+4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)$

б) AA₁C и BKC₁

Найдем нормальный вектор плоскости $AA_1C$. Эта плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $A_1(0, 0, 3)$ и $C(2, 2, 0)$. Векторы, лежащие в плоскости $AA_1C$:$\vec{AA_1} = (0, 0, 3)$$\vec{AC} = (2, 2, 0)$Нормальный вектор $\vec{n}_{AA_1C}$:$\vec{n}_{AA_1C} = \vec{AA_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-6) - \mathbf{j}(0-6) + \mathbf{k}(0-0) = (-6, 6, 0)$. Упрощенный нормальный вектор: $\vec{n'}_{AA_1C} = (1, -1, 0)$.

Нормальный вектор плоскости $BKC_1$ был найден в пункте а): $\vec{n'}_{BKC_1} = (3, -1, -2)$. Найдем косинус угла $\beta$ между плоскостями $AA_1C$ и $BKC_1$:$\cos \beta = \frac{|\vec{n'}_{AA_1C} \cdot \vec{n'}_{BKC_1}|}{|\vec{n'}_{AA_1C}| \cdot |\vec{n'}_{BKC_1}|} = \frac{|(1, -1, 0) \cdot (3, -1, -2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{|1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot (-2)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{|3+1|}{\sqrt{28}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$

в) ABC и BKD₁

Нормальный вектор плоскости $ABC$ нам известен: $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BKD_1$. Эта плоскость проходит через точки $B(0, 2, 0)$, $K(0, 0, 1)$ и $D_1(2, 0, 3)$. Векторы, лежащие в плоскости $BKD_1$:$\vec{BK} = (0, -2, 1)$$\vec{BD_1} = D_1 - B = (2-0, 0-2, 3-0) = (2, -2, 3)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BKD_1}$:$\vec{n}_{BKD_1} = \vec{BK} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-6-(-2)) - \mathbf{j}(0-2) + \mathbf{k}(0-(-4)) = (-4, 2, 4)$. Упрощенный нормальный вектор: $\vec{n'}_{BKD_1} = (2, -1, -2)$.

Найдем косинус угла $\gamma$ между плоскостями $ABC$ и $BKD_1$:$\cos \gamma = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{BKD_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{BKD_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (2, -1, -2)|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{|0 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2)|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$