Номер 488, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

488. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ ребро основания составляет $\frac{2}{3}$ бокового ребра. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC_1$.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $a$, а боковое ребро равно $h$. По условию задачи $a = \frac{2}{3}h$.

Угол $\theta$ между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC_1)$ можно найти, используя метод ортогональных проекций. Угол между плоскостями связан с площадью многоугольника и площадью его ортогональной проекции на другую плоскость формулой:

$S_{proj} = S \cdot \cos\theta$

где $S$ — площадь фигуры в одной плоскости (в нашем случае — площадь треугольника $A_1BC_1$), а $S_{proj}$ — площадь ее ортогональной проекции на другую плоскость (в нашем случае — плоскость $ABC$).

Найдем ортогональную проекцию треугольника $A_1BC_1$ на плоскость основания $(ABC)$. Для этого спроецируем его вершины:

• Вершина $B$ уже лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B$.
• Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, ребро $AA_1 \perp (ABC)$. Следовательно, проекцией точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$ является точка $A$.
• Аналогично, ребро $CC_1 \perp (ABC)$. Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость $(ABC)$ является точка $C$.

Таким образом, ортогональной проекцией треугольника $A_1BC_1$ на плоскость $(ABC)$ является треугольник $ABC$.

Теперь найдем площади обоих треугольников.

1. Площадь проекции $S_{proj}$ — это площадь правильного треугольника $ABC$ со стороной $a$.

$S_{proj} = \text{S}_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Площадь треугольника $A_1BC_1$. Найдем длины его сторон.

• Сторона $A_1C_1$ является стороной верхнего основания, поэтому $A_1C_1 = a$.
• Сторону $A_1B$ найдем из прямоугольного треугольника $A_1AB$ (так как $A_1A \perp AB$). По теореме Пифагора: $A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2 = h^2 + a^2$. $A_1B = \sqrt{h^2 + a^2}$.
• Сторону $BC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $BCC_1$ (так как $CC_1 \perp BC$). По теореме Пифагора: $BC_1^2 = CC_1^2 + BC^2 = h^2 + a^2$. $BC_1 = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Треугольник $A_1BC_1$ является равнобедренным с основанием $A_1C_1=a$ и боковыми сторонами $A_1B = BC_1 = \sqrt{h^2+a^2}$.

Найдем высоту этого треугольника, проведенную к основанию $A_1C_1$. Пусть $K$ — середина $A_1C_1$. Тогда $BK$ — высота $\triangle A_1BC_1$. Из прямоугольного треугольника $BKA_1$ по теореме Пифагора:

$BK^2 = A_1B^2 - A_1K^2 = (\sqrt{h^2+a^2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = h^2 + a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2 + \frac{3a^2}{4}$

$BK = \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}}$

Площадь треугольника $A_1BC_1$ равна:

$S = \text{S}_{\triangle A_1BC_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot BK = \frac{1}{2} a \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}}$

Теперь можем найти косинус угла $\theta$ между плоскостями:

$\cos\theta = \frac{S_{proj}}{S} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2} a \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}}} = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}}}$

Подставим в это выражение данное в условии соотношение $a = \frac{2}{3}h$:

$\cos\theta = \frac{\frac{2}{3}h\sqrt{3}}{2\sqrt{h^2 + \frac{3}{4}(\frac{2}{3}h)^2}} = \frac{\frac{h\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{h^2 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}h^2}} = \frac{\frac{h\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{h^2 + \frac{1}{3}h^2}} = \frac{\frac{h\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{4h^2}{3}}} = \frac{\frac{h\sqrt{3}}{3}}{\frac{2h}{\sqrt{3}}} = \frac{h\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2h} = \frac{3h}{6h} = \frac{1}{2}$

Таким образом, $\cos\theta = \frac{1}{2}$, откуда находим угол:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.