Номер 483, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

483. В треугольной пирамиде $SABC$ углы $BSC$, $ASC$ и $ASB$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Выразите:

a) косинус угла между прямой $SA$ и биссектрисой угла $BSC$;

б) косинус угла между биссектрисами углов $BSC$ и $ASC$.

Для решения задачи используем векторный метод. Поместим вершину пирамиды S в начало координат. Введем единичные векторы $\vec{e_a}$, $\vec{e_b}$ и $\vec{e_c}$, сонаправленные с ребрами SA, SB и SC соответственно. Таким образом, $|\vec{e_a}| = |\vec{e_b}| = |\vec{e_c}| = 1$.

Согласно условию, углы при вершине S равны:

$\angle BSC = \alpha$

$\angle ASC = \beta$

$\angle ASB = \gamma$

Это означает, что скалярные произведения единичных векторов равны косинусам углов между ними:

$\vec{e_b} \cdot \vec{e_c} = |\vec{e_b}| \cdot |\vec{e_c}| \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

$\vec{e_a} \cdot \vec{e_c} = |\vec{e_a}| \cdot |\vec{e_c}| \cos(\beta) = \cos(\beta)$

$\vec{e_a} \cdot \vec{e_b} = |\vec{e_a}| \cdot |\vec{e_b}| \cos(\gamma) = \cos(\gamma)$

Косинус угла $\varphi$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Прямая SA задается направляющим вектором $\vec{e_a}$. Направляющий вектор биссектрисы угла, образованного векторами $\vec{e_b}$ и $\vec{e_c}$, является суммой этих единичных векторов. Обозначим его $\vec{d_1} = \vec{e_b} + \vec{e_c}$.

Найдем косинус угла $\varphi_a$ между векторами $\vec{e_a}$ и $\vec{d_1}$.

Сначала вычислим их скалярное произведение:

$\vec{e_a} \cdot \vec{d_1} = \vec{e_a} \cdot (\vec{e_b} + \vec{e_c}) = \vec{e_a} \cdot \vec{e_b} + \vec{e_a} \cdot \vec{e_c} = \cos(\gamma) + \cos(\beta)$.

Теперь найдем модуль вектора $\vec{d_1}$:

$|\vec{d_1}|^2 = |\vec{e_b} + \vec{e_c}|^2 = (\vec{e_b} + \vec{e_c}) \cdot (\vec{e_b} + \vec{e_c}) = |\vec{e_b}|^2 + 2(\vec{e_b} \cdot \vec{e_c}) + |\vec{e_c}|^2 = 1^2 + 2\cos(\alpha) + 1^2 = 2 + 2\cos(\alpha)$.

Используя тригонометрическую формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$|\vec{d_1}|^2 = 2(1 + \cos(\alpha)) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Отсюда $|\vec{d_1}| = \sqrt{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$ (поскольку $\alpha$ - плоский угол при вершине пирамиды, то $0 < \alpha < \pi$, значит $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ и $\cos(\frac{\alpha}{2}) > 0$).

Теперь можем найти косинус искомого угла:

$\cos \varphi_a = \frac{\vec{e_a} \cdot \vec{d_1}}{|\vec{e_a}| |\vec{d_1}|} = \frac{\cos(\beta) + \cos(\gamma)}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos(\beta) + \cos(\gamma)}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{\cos(\beta) + \cos(\gamma)}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Направляющий вектор биссектрисы угла BSC, как мы установили ранее, есть $\vec{d_1} = \vec{e_b} + \vec{e_c}$.

Аналогично, направляющий вектор биссектрисы угла ASC, образованного векторами $\vec{e_a}$ и $\vec{e_c}$, есть $\vec{d_2} = \vec{e_a} + \vec{e_c}$.

Найдем косинус угла $\varphi_b$ между векторами $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (\vec{e_b} + \vec{e_c}) \cdot (\vec{e_a} + \vec{e_c}) = \vec{e_b} \cdot \vec{e_a} + \vec{e_b} \cdot \vec{e_c} + \vec{e_c} \cdot \vec{e_a} + \vec{e_c} \cdot \vec{e_c} = \cos(\gamma) + \cos(\alpha) + \cos(\beta) + |\vec{e_c}|^2 = 1 + \cos(\alpha) + \cos(\beta) + \cos(\gamma)$.

Модули векторов нам уже известны или находятся аналогично:

$|\vec{d_1}| = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$.

$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{e_a} + \vec{e_c}|^2 = |\vec{e_a}|^2 + 2(\vec{e_a} \cdot \vec{e_c}) + |\vec{e_c}|^2 = 1 + 2\cos(\beta) + 1 = 2(1 + \cos(\beta)) = 4\cos^2(\frac{\beta}{2})$.

Следовательно, $|\vec{d_2}| = 2\cos(\frac{\beta}{2})$.

Теперь находим косинус искомого угла:

$\cos \varphi_b = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{1 + \cos(\alpha) + \cos(\beta) + \cos(\gamma)}{(2\cos(\frac{\alpha}{2}))(2\cos(\frac{\beta}{2}))} = \frac{1 + \cos(\alpha) + \cos(\beta) + \cos(\gamma)}{4\cos(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\alpha) + \cos(\beta) + \cos(\gamma)}{4\cos(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}$