Номер 476, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

476. В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ с углом $A$ в $60^\circ$, меньшая диагональ ромба равна боковому ребру. Точки $K$, $M$ и $P$ — середины рёбер $CD$, $BB_1$ и $AD$ соответственно (рис. 378). Найдите косинус угла между прямыми:

а) $AC_1$ и $MK$;

б) $PC_1$ и $A_1K$;

в) $MP$ и $A_1C$;

г) $DM$ и $AK$.

Рис. 378

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Пусть основание призмы $ABCD$ лежит в плоскости $Oxy$, а боковое ребро $AA_1$ — на оси $Oz$.

В основании призмы лежит ромб $ABCD$ с углом $\angle A = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равносторонним. Пусть сторона ромба равна $a$. Тогда меньшая диагональ ромба $BD = a$.

По условию, меньшая диагональ ромба равна боковому ребру, следовательно, высота призмы $h = AA_1 = BB_1 = \dots = a$.

Для удобства вычислений, и поскольку искомый косинус не зависит от размеров призмы, примем сторону ромба $a=4$. Тогда высота призмы также равна 4.

Найдем координаты вершин и заданных точек:

• Поместим точку $A$ в начало координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $D$ лежит на оси $Ox$: $D(a, 0, 0) \implies D(4, 0, 0)$.
• Координаты точки $B$ в плоскости $Oxy$: $x_B = AB \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, $y_B = AB \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, $B(2, 2\sqrt{3}, 0)$.
• Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Координаты точки $C$: $C(2+4, 2\sqrt{3}+0, 0) \implies C(6, 2\sqrt{3}, 0)$.
• Координаты вершин верхнего основания: $A_1(0, 0, 4)$, $B_1(2, 2\sqrt{3}, 4)$, $C_1(6, 2\sqrt{3}, 4)$, $D_1(4, 0, 4)$.
• $P$ — середина $AD$: $P(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) \implies P(2, 0, 0)$.
• $K$ — середина $CD$: $K(\frac{6+4}{2}, \frac{2\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+0}{2}) \implies K(5, \sqrt{3}, 0)$.
• $M$ — середина $BB_1$: $M(\frac{2+2}{2}, \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}, \frac{0+4}{2}) \implies M(2, 2\sqrt{3}, 2)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдем векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{MK}$:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (6-0, 2\sqrt{3}-0, 4-0) = (6, 2\sqrt{3}, 4)$.

$\vec{MK} = K - M = (5-2, \sqrt{3}-2\sqrt{3}, 0-2) = (3, -\sqrt{3}, -2)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{MK} = 6 \cdot 3 + (2\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) + 4 \cdot (-2) = 18 - 6 - 8 = 4$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 12 + 16} = \sqrt{64} = 8$.

$|\vec{MK}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|4|}{8 \cdot 4} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Найдем векторы $\vec{PC_1}$ и $\vec{A_1K}$:

$\vec{PC_1} = C_1 - P = (6-2, 2\sqrt{3}-0, 4-0) = (4, 2\sqrt{3}, 4)$.

$\vec{A_1K} = K - A_1 = (5-0, \sqrt{3}-0, 0-4) = (5, \sqrt{3}, -4)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{PC_1} \cdot \vec{A_1K} = 4 \cdot 5 + (2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 4 \cdot (-4) = 20 + 6 - 16 = 10$.

Вычислим длины векторов:

$|\vec{PC_1}| = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 12 + 16} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

$|\vec{A_1K}| = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 3 + 16} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|10|}{2\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{11}} = \frac{10}{4 \cdot 11} = \frac{10}{44} = \frac{5}{22}$.

Ответ: $\frac{5}{22}$.

Найдем векторы $\vec{MP}$ и $\vec{A_1C}$:

$\vec{MP} = P - M = (2-2, 0-2\sqrt{3}, 0-2) = (0, -2\sqrt{3}, -2)$.

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (6-0, 2\sqrt{3}-0, 0-4) = (6, 2\sqrt{3}, -4)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{MP} \cdot \vec{A_1C} = 0 \cdot 6 + (-2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) + (-2) \cdot (-4) = 0 - 12 + 8 = -4$.

Вычислим длины векторов:

$|\vec{MP}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 12 + 16} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|-4|}{4 \cdot 8} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Найдем векторы $\vec{DM}$ и $\vec{AK}$:

$\vec{DM} = M - D = (2-4, 2\sqrt{3}-0, 2-0) = (-2, 2\sqrt{3}, 2)$.

$\vec{AK} = K - A = (5-0, \sqrt{3}-0, 0-0) = (5, \sqrt{3}, 0)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{DM} \cdot \vec{AK} = (-2) \cdot 5 + (2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 0 = -10 + 6 + 0 = -4$.

Вычислим длины векторов:

$|\vec{DM}| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 12 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$|\vec{AK}| = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 3} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Найдем косинус угла между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|-4|}{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{4}{4\sqrt{35}} = \frac{1}{\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{35}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{35}$.