Номер 478, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

478. Боковое ребро $SA$ пирамиды $SABCD$ перпендикулярно её основанию и равно стороне квадрата $ABCD$. Точки $M$, $P$ и $K$ — середины рёбер $SB$, $BC$ и $SD$ соответственно (рис. 380). Найдите угол между прямыми:

а) $PM$ и $BK$;

б) $CM$ и $KP$;

в) $SP$ и $CK$;

г) $DP$ и $BK$.

Рис. 380

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $SA$. Так как основание $ABCD$ — квадрат и боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, такая система координат является прямоугольной.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда, по условию задачи, высота пирамиды $SA = a$.

В этой системе координат вершины пирамиды имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $S(0, 0, a)$

Найдем координаты точек $M$, $P$ и $K$, которые являются серединами ребер $SB$, $BC$ и $SD$ соответственно:

• $M$ — середина $SB$: $M(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = M(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$
• $P$ — середина $BC$: $P(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = P(a, \frac{a}{2}, 0)$
• $K$ — середина $SD$: $K(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = K(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$

Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) PM и BK

Найдем координаты векторов $\vec{PM}$ и $\vec{BK}$:

$\vec{PM} = \{\frac{a}{2} - a; 0 - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - 0\} = \{-\frac{a}{2}; -\frac{a}{2}; \frac{a}{2}\}$

$\vec{BK} = \{0 - a; \frac{a}{2} - 0; \frac{a}{2} - 0\} = \{-a; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{PM} \cdot \vec{BK} = (-\frac{a}{2})(-a) + (-\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{PM}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{BK}| = \sqrt{(-a)^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{18}}{4}} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{4}{a^2 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Искомый угол $\phi = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})$

б) CM и KP

Найдем координаты векторов $\vec{CM}$ и $\vec{KP}$:

$\vec{CM} = \{\frac{a}{2} - a; 0 - a; \frac{a}{2} - 0\} = \{-\frac{a}{2}; -a; \frac{a}{2}\}$

$\vec{KP} = \{a - 0; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}; 0 - \frac{a}{2}\} = \{a; 0; -\frac{a}{2}\}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CM} \cdot \vec{KP} = (-\frac{a}{2})(a) + (-a)(0) + (\frac{a}{2})(-\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = -\frac{3a^2}{4}$

Найдем длины векторов:

$|\vec{CM}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-a)^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$|\vec{KP}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|-\frac{3a^2}{4}|}{\frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a^2\sqrt{30}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10}$

Искомый угол $\phi = \arccos(\frac{\sqrt{30}}{10})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{30}}{10})$

в) SP и CK

Найдем координаты векторов $\vec{SP}$ и $\vec{CK}$:

$\vec{SP} = \{a - 0; \frac{a}{2} - 0; 0 - a\} = \{a; \frac{a}{2}; -a\}$

$\vec{CK} = \{0 - a; \frac{a}{2} - a; \frac{a}{2} - 0\} = \{-a; -\frac{a}{2}; \frac{a}{2}\}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{SP} \cdot \vec{CK} = (a)(-a) + (\frac{a}{2})(-\frac{a}{2}) + (-a)(\frac{a}{2}) = -a^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{7a^2}{4}$

Найдем длины векторов:

$|\vec{SP}| = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$

$|\vec{CK}| = \sqrt{(-a)^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|-\frac{7a^2}{4}|}{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{7a^2}{4}}{\frac{3a^2\sqrt{6}}{4}} = \frac{7}{3\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{18}$

Искомый угол $\phi = \arccos(\frac{7\sqrt{6}}{18})$.

Ответ: $\arccos(\frac{7\sqrt{6}}{18})$

г) DP и BK

Найдем координаты векторов $\vec{DP}$ и $\vec{BK}$:

$\vec{DP} = \{a - 0; \frac{a}{2} - a; 0 - 0\} = \{a; -\frac{a}{2}; 0\}$

Вектор $\vec{BK} = \{-a; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\}$ и его длина $|\vec{BK}| = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ были найдены в пункте а).

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{DP} \cdot \vec{BK} = (a)(-a) + (-\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (0)(\frac{a}{2}) = -a^2 - \frac{a^2}{4} = -\frac{5a^2}{4}$

Найдем длину вектора $\vec{DP}$:

$|\vec{DP}| = \sqrt{a^2 + (-\frac{a}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos \phi = \frac{|-\frac{5a^2}{4}|}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{5a^2}{4}}{\frac{a^2\sqrt{30}}{4}} = \frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{5\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Искомый угол $\phi = \arccos(\frac{\sqrt{30}}{6})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{30}}{6})$