Номер 481, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

481. В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $AD = 2BC = 2AB = AA_1$.

Найдите угол между прямыми:

a) $AB$ и $DB_1$;

б) $CD_1$ и $DB_1$.

Для решения задачи введем систему координат. Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Пусть основание $ABCD$ лежит в плоскости $Oxy$.

Из условия $AD = 2BC = 2AB = AA_1$ выведем соотношения между сторонами. Примем длину боковой стороны трапеции $AB$ за $a$. Тогда $AB = a$. Из $2BC = 2AB$ следует, что $BC = AB = a$. Из $AD = 2AB$ следует, что $AD = 2a$. Из $AD = AA_1$ следует, что высота призмы $AA_1 = 2a$.

Таким образом, мы имеем равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD = 2a$, $BC = a$ и боковыми сторонами $AB = CD = a$. Высота призмы $h = AA_1 = 2a$.

Расположим начало координат в точке $A(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AD$. Тогда точка $D$ имеет координаты $D(2a, 0, 0)$.

Найдем координаты точек $B$ и $C$. Проведем в трапеции высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$ равна полуразности оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем высоту трапеции $BH$: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем определить координаты всех необходимых вершин:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C(AH + BC, BH, 0) = C(\frac{a}{2} + a, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) = C(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D(2a, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, 2a)$
• $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$
• $D_1(2a, 0, 2a)$

а) $AB$ и $DB_1$

Найдем векторы, соответствующие этим прямым. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. $\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{DB_1} = B_1 - D = (\frac{a}{2} - 2a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 2a - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$.

Найдем косинус угла $\alpha$ между этими векторами по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{DB_1}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{AB} \cdot \vec{DB_1} = (\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{3a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (0) \cdot (2a) = -\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) $CD_1$ и $DB_1$

Найдем векторы, соответствующие этим прямым. Вектор $\vec{DB_1}$ уже найден в предыдущем пункте. $\vec{DB_1} = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$.

Найдем вектор $\vec{CD_1}$: $\vec{CD_1} = D_1 - C = (2a - \frac{3a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a - 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$.

Найдем косинус угла $\beta$ между векторами $\vec{CD_1}$ и $\vec{DB_1}$. $\cos \beta = \frac{\vec{CD_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{CD_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$.

Вычислим скалярное произведение: $\vec{CD_1} \cdot \vec{DB_1} = (\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{3a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (2a) \cdot (2a) = -\frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + 4a^2 = -\frac{6a^2}{4} + 4a^2 = -\frac{3a^2}{2} + \frac{8a^2}{2} = \frac{5a^2}{2}$.

Вычислим модули (длины) векторов: $|\vec{CD_1}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

$|\vec{DB_1}| = \sqrt{(-\frac{3a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{3a^2 + 4a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}$.

Теперь найдем косинус угла: $\cos \beta = \frac{\frac{5a^2}{2}}{(a\sqrt{5})(a\sqrt{7})} = \frac{5a^2}{2a^2\sqrt{35}} = \frac{5}{2\sqrt{35}} = \frac{5\sqrt{35}}{2 \cdot 35} = \frac{\sqrt{35}}{14}$.

Угол $\beta$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{14}\right)$.