Номер 484, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

484. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите угол между прямой $BC_1$ (рис. 384) и прямой:

a) $E_1C$;

б) $F_1E$;

в) $A_1F$;

г) $A_1C$;

д) $BF_1$;

е) $A_1D$.

Рис. 384

Для нахождения углов между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в центре нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим параллельно боковому ребру $AA_1$. Ось $Ox$ проведем через вершину $C$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны $a$, ее основание — правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус описанной окружности для такого шестиугольника также равен $a$. Координаты вершин можно определить следующим образом:

• $A(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C(a, 0, 0)$
• $D(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(-a, 0, 0)$
• $A_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $C_1(a, 0, a)$
• $D_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $F_1(-a, 0, a)$

Угол $\phi$ между прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$\cos\phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Сначала найдем координаты и модуль вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

а) $E_1C$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{E_1C}$:

$\vec{E_1C} = C - E_1 = (a - (-a/2), 0 - (-a\sqrt{3}/2), 0 - a) = (3a/2, a\sqrt{3}/2, -a)$

$|\vec{E_1C}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{E_1C} = (\frac{a}{2})(\frac{3a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(-a) = \frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} - a^2 = -a^2$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos\phi = \frac{|-a^2|}{a\sqrt{2} \cdot 2a} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}a^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$

б) $F_1E$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{F_1E}$:

$\vec{F_1E} = E - F_1 = (-a/2 - (-a), -a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, -a)$

$|\vec{F_1E}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{F_1E} = (\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(-a) = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - a^2 = a^2 - a^2 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

в) $A_1F$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{A_1F}$:

$\vec{A_1F} = F - A_1 = (-a - (-a/2), 0 - a\sqrt{3}/2, 0 - a) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, -a)$

$|\vec{A_1F}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{A_1F} = (\frac{a}{2})(-\frac{a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(-a) = -\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - a^2 = \frac{2a^2}{4} - a^2 = \frac{a^2}{2} - a^2 = -\frac{a^2}{2}$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos\phi = \frac{|-a^2/2|}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2/2}{2a^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\arccos(\frac{1}{4})$

г) $A_1C$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (a - (-a/2), 0 - a\sqrt{3}/2, 0 - a) = (3a/2, -a\sqrt{3}/2, -a)$

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2+a^2} = 2a$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{A_1C} = (\frac{a}{2})(\frac{3a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(-a) = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - a^2 = \frac{6a^2}{4} - a^2 = \frac{3a^2}{2} - a^2 = \frac{a^2}{2}$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos\phi = \frac{|a^2/2|}{a\sqrt{2} \cdot 2a} = \frac{a^2/2}{2\sqrt{2}a^2} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{8})$

д) $BF_1$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{BF_1}$:

$\vec{BF_1} = F_1 - B = (-a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a - 0) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

$|\vec{BF_1}| = \sqrt{(-\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2+a^2} = 2a$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{BF_1} = (\frac{a}{2})(-\frac{3a}{2}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(a) = -\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2 = a^2$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos\phi = \frac{|a^2|}{a\sqrt{2} \cdot 2a} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}a^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$

е) $A_1D$

Найдем координаты и модуль вектора $\vec{A_1D}$:

$\vec{A_1D} = D - A_1 = (a/2 - (-a/2), -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, 0 - a) = (a, -a\sqrt{3}, -a)$

$|\vec{A_1D}| = \sqrt{a^2 + (-a\sqrt{3})^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{A_1D} = (\frac{a}{2})(a) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(-a\sqrt{3}) + (a)(-a) = \frac{a^2}{2} + \frac{3a^2}{2} - a^2 = \frac{4a^2}{2} - a^2 = 2a^2 - a^2 = a^2$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между прямыми:

$\cos\phi = \frac{|a^2|}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{10}}{10})$