Номер 477, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

477. Равнобедренная трапеция $ABCD$, у которой $AB = BC = CD = 0,5AD$, является основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Учитывая, что точки $M$, $P$ и $K$ — середины рёбер $AB$, $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно и $BC = CC_1$ (рис. 379), найдите косинус угла между прямыми:

а) $CK$ и $MP$;

б) $PK$ и $MD$;

в) $AP$ и $BK$;

г) $DP$ и $MK$.

Рис. 379

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть основание призмы, трапеция $ABCD$, лежит в плоскости $Oxy$. Поместим начало координат $O(0,0,0)$ в середину большего основания $AD$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OD$, ось $Oy$ — перпендикулярно $AD$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

Из условия задачи имеем $AB = BC = CD = 0,5AD$. Пусть $BC = a$, тогда $AB = CD = a$ и $AD = 2a$. Высота призмы $h_{пр} = CC_1 = BC = a$. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем высоту трапеции $h_{тр} = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для упрощения вычислений положим $a = 2$. Тогда $AD=4$, $h_{тр} = \sqrt{3}$, $h_{пр} = 2$. Определим координаты вершин призмы и заданных точек:

• $A(-2, 0, 0)$
• $B(-1, \sqrt{3}, 0)$
• $C(1, \sqrt{3}, 0)$
• $D(2, 0, 0)$
• $A_1(-2, 0, 2)$
• $B_1(-1, \sqrt{3}, 2)$
• $C_1(1, \sqrt{3}, 2)$
• $D_1(2, 0, 2)$

$M$ — середина $AB$: $M(\frac{-2-1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$P$ — середина $CC_1$: $P(\frac{1+1}{2}, \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+2}{2}) = P(1, \sqrt{3}, 1)$.
$K$ — середина $A_1D_1$: $K(\frac{-2+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = K(0, 0, 2)$.

Косинус угла $\varphi$ между прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, находится по формуле: $\cos \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

а) CK и MP

Найдем координаты векторов $\vec{CK}$ и $\vec{MP}$:
$\vec{CK} = K - C = (0-1, 0-\sqrt{3}, 2-0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{MP} = P - M = (1-(-\frac{3}{2}), \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем длины векторов:
$|\vec{CK}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1+3+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{MP}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{CK} \cdot \vec{MP} = (-1)\cdot\frac{5}{2} + (-\sqrt{3})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cdot1 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} + 2 = -4+2 = -2$.

Вычислим косинус угла:
$\cos\varphi = \frac{|-2|}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) PK и MD

Найдем координаты векторов $\vec{PK}$ и $\vec{MD}$:
$\vec{PK} = K - P = (0-1, 0-\sqrt{3}, 2-1) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.
$\vec{MD} = D - M = (2-(-\frac{3}{2}), 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (\frac{7}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем длины векторов:
$|\vec{PK}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$.
$|\vec{MD}| = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{52}{4}} = \sqrt{13}$.

Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{PK} \cdot \vec{MD} = (-1)\cdot\frac{7}{2} + (-\sqrt{3})\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot0 = -\frac{7}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2$.

Вычислим косинус угла:
$\cos\varphi = \frac{|-2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{65}}$.

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{65}}$.

в) AP и BK

Найдем координаты векторов $\vec{AP}$ и $\vec{BK}$:
$\vec{AP} = P - A = (1-(-2), \sqrt{3}-0, 1-0) = (3, \sqrt{3}, 1)$.
$\vec{BK} = K - B = (0-(-1), 0-\sqrt{3}, 2-0) = (1, -\sqrt{3}, 2)$.

Найдем длины векторов:
$|\vec{AP}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{9+3+1} = \sqrt{13}$.
$|\vec{BK}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1+3+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AP} \cdot \vec{BK} = 3\cdot1 + \sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3}) + 1\cdot2 = 3-3+2 = 2$.

Вычислим косинус угла:
$\cos\varphi = \frac{|2|}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{26}}$.

г) DP и MK

Найдем координаты векторов $\vec{DP}$ и $\vec{MK}$:
$\vec{DP} = P - D = (1-2, \sqrt{3}-0, 1-0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$.
$\vec{MK} = K - M = (0-(-\frac{3}{2}), 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 2-0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Найдем длины векторов:
$|\vec{DP}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$.
$|\vec{MK}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{\frac{12}{4} + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.

Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{DP} \cdot \vec{MK} = (-1)\cdot\frac{3}{2} + \sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot2 = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 2 = -3+2 = -1$.

Вычислим косинус угла:
$\cos\varphi = \frac{|-1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{35}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{35}}$.