Номер 471, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

471. В основании треугольной пирамиды $ABCD$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известно, что $AC = BD$ и ребро $BD$ перпендикулярно плоскости основания (рис. 377). Найдите угол между прямой $BD$ и прямой, проходящей через середины рёбер $AD$ и $BC$.

Рис. 377

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве удобно использовать метод координат.

Введем прямоугольную систему координат. Учитывая, что в основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) и ребро $BD$ перпендикулярно плоскости основания, разместим начало координат в вершине $C$. Направим ось $Ox$ по катету $CA$ и ось $Oy$ по катету $CB$. Тогда плоскость основания $ABC$ совпадет с координатной плоскостью $Oxy$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный, следовательно, $AC = BC$. Также дано, что $AC = BD$. Обозначим длину этих равных отрезков через $a$: $AC = BC = BD = a$.

Определим координаты вершин пирамиды $ABCD$ в выбранной системе координат:
- $C$ — начало координат: $C(0, 0, 0)$.
- $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$ от $C$: $A(a, 0, 0)$.
- $B$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии $a$ от $C$: $B(0, a, 0)$.
- Ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (плоскости $Oxy$), значит, оно параллельно оси $Oz$. Координаты точки $D$ будут $(x_B, y_B, z_D)$. Таким образом, $D$ имеет координаты $(0, a, z_D)$. Длина $BD$ равна $a$, и она же равна $|z_D - z_B| = |z_D - 0| = |z_D|$. Примем $z_D = a$ (пирамида находится в верхнем полупространстве). Итак, $D(0, a, a)$.

Пусть $M$ — середина ребра $AD$, а $N$ — середина ребра $BC$. Найдем их координаты:
- Координаты $M$ как середины отрезка $AD$ с концами $A(a, 0, 0)$ и $D(0, a, a)$:
$M = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)$.
- Координаты $N$ как середины отрезка $BC$ с концами $B(0, a, 0)$ и $C(0, 0, 0)$:
$N = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, 0 \right)$.

Теперь найдем направляющие векторы для искомых прямых $BD$ и $MN$.
- Направляющий вектор прямой $BD$ — это вектор $\vec{BD}$:
$\vec{v_1} = \vec{BD} = (0-0, a-a, a-0) = (0, 0, a)$.
- Направляющий вектор прямой $MN$ — это вектор $\vec{MN}$:
$\vec{v_2} = \vec{MN} = \left( 0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, 0, -\frac{a}{2} \right)$.

Угол $\theta$ между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ находится по формуле:$\cos\theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.
Вычислим скалярное произведение:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot 0 + a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$.
Вычислим модули (длины) векторов:$|\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Подставим значения в формулу:$\cos\theta = \frac{-a^2/2}{a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{-a^2/2}{a^2\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол между векторами $\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$. Угол между прямыми по определению является острым углом (или прямым), поэтому, если угол между направляющими векторами тупой, искомый угол равен $180^\circ - \theta$. Искомый угол $\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.