Номер 464, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

464. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $CD$ пространственного четырёхугольника $ABCD$. Плоскость, которая проходит через точки $M$ и $K$, пересекает отрезки $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$ соответственно.

Докажите, что:

a) $BN : ND = AL : LD$;

б) отрезок $NL$ разделяется прямой $MK$ пополам.

Пусть дан пространственный четырехугольник $ABCD$. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$, проходящая через точки $M$ и $K$, пересекает отрезки $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку отсчета $O$ и рассмотрим радиус-векторы вершин четырехугольника: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$, $\vec{d} = \vec{OD}$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, ее радиус-вектор $\vec{m}$ равен:$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.

Поскольку $K$ — середина $CD$, ее радиус-вектор $\vec{k}$ равен:$\vec{k} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$.

Точка $N$ лежит на отрезке $BC$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{n}$ можно выразить как:$\vec{n} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ для некоторого $t \in [0, 1]$. При этом отношение $BN:NC = t:(1-t)$.

Точка $L$ лежит на отрезке $AD$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{l}$ можно выразить как:$\vec{l} = (1-s)\vec{a} + s\vec{d}$ для некоторого $s \in [0, 1]$. При этом отношение $AL:LD = s:(1-s)$.

Точки $M, K, N, L$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это означает, что векторы, соединяющие эти точки, например $\vec{MN}$, $\vec{ML}$ и $\vec{MK}$, компланарны (линейно зависимы). Выразим эти векторы через радиус-векторы вершин:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} + (\frac{1}{2}-t)\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{ML} = \vec{l} - \vec{m} = (1-s)\vec{a} + s\vec{d} - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = (\frac{1}{2}-s)\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + s\vec{d}$

$\vec{MK} = \vec{k} - \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$

Условие компланарности векторов $\vec{MN}, \vec{ML}, \vec{MK}$ означает существование таких чисел $x, y, z$, не равных нулю одновременно, что $x\vec{MN} + y\vec{ML} + z\vec{MK} = \vec{0}$.

$x(-\frac{1}{2}\vec{a} + (\frac{1}{2}-t)\vec{b} + t\vec{c}) + y((\frac{1}{2}-s)\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + s\vec{d}) + z(-\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$:

$(-\frac{x}{2} + y(\frac{1}{2}-s) - \frac{z}{2})\vec{a} + (x(\frac{1}{2}-t) - \frac{y}{2} - \frac{z}{2})\vec{b} + (xt + \frac{z}{2})\vec{c} + (ys + \frac{z}{2})\vec{d} = \vec{0}$

Поскольку $A, B, C, D$ — вершины пространственного четырехугольника, они не лежат в одной плоскости. Для таких точек из векторного равенства $\alpha_1\vec{a} + \alpha_2\vec{b} + \alpha_3\vec{c} + \alpha_4\vec{d} = \vec{0}$ при условии $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 = 0$ следует, что все коэффициенты $\alpha_i$ равны нулю. Проверим сумму коэффициентов в нашем уравнении:

$(-\frac{x}{2} + \frac{y}{2} - ys - \frac{z}{2}) + (\frac{x}{2} - xt - \frac{y}{2} - \frac{z}{2}) + (xt + \frac{z}{2}) + (ys + \frac{z}{2}) = 0$

Сумма коэффициентов равна нулю. Следовательно, каждый коэффициент при векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ должен быть равен нулю:

1) $-\frac{x}{2} + y(\frac{1}{2}-s) - \frac{z}{2} = 0 \implies -x + y - 2ys - z = 0$
2) $x(\frac{1}{2}-t) - \frac{y}{2} - \frac{z}{2} = 0 \implies x - 2xt - y - z = 0$
3) $xt + \frac{z}{2} = 0 \implies z = -2xt$
4) $ys + \frac{z}{2} = 0 \implies z = -2ys$

Из уравнений (3) и (4) получаем $-2xt = -2ys$, откуда $xt = ys$. Подставим $z = -2xt$ в уравнение (2):$x - 2xt - y - (-2xt) = 0 \implies x - y = 0 \implies x=y$.

Так как точки $M,N,K,L$ не лежат на одной прямой (в общем случае), то $x$ и $y$ не могут быть одновременно нулями. Если $x=0$, то и $y=z=0$, что противоречит условию. Значит $x \neq 0$, и следовательно $y \neq 0$. Подставив $x=y$ в равенство $xt=ys$, получаем $xt=xs$. Так как $x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $x$, что дает $t=s$.

Равенство $t=s$ означает, что отношения, в которых точки $N$ и $L$ делят соответствующие стороны, равны:

$BN:NC = t:(1-t) = s:(1-s) = AL:LD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $BN:NC=AL:LD$ доказано.

Нужно доказать, что середина отрезка $NL$ лежит на прямой $MK$. Пусть $P$ — середина отрезка $NL$. Найдем ее радиус-вектор $\vec{p}$:

$\vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{n} + \vec{l})$

Подставим выражения для $\vec{n}$ и $\vec{l}$ и воспользуемся результатом $t=s$ из пункта а):

$\vec{p} = \frac{1}{2}((1-t)\vec{b} + t\vec{c} + (1-s)\vec{a} + s\vec{d}) = \frac{1}{2}((1-t)\vec{b} + t\vec{c} + (1-t)\vec{a} + t\vec{d})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{p} = \frac{1}{2}((1-t)(\vec{a}+\vec{b}) + t(\vec{c}+\vec{d}))$

Расположим множители иначе:

$\vec{p} = (1-t)\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} + t\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$

Вспомним, что $\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ и $\vec{k} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$. Тогда:

$\vec{p} = (1-t)\vec{m} + t\vec{k}$

Это выражение по определению является радиус-вектором точки, лежащей на отрезке $MK$ и делящей его в отношении $t:(1-t)$. Следовательно, точка $P$, которая является серединой отрезка $NL$, лежит на прямой $MK$.

Таким образом, прямая $MK$ проходит через середину отрезка $NL$, то есть делит его пополам.

Ответ: Утверждение о том, что отрезок $NL$ разделяется прямой $MK$ пополам, доказано.