Номер 459, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

459. На рёбрах $AB$ и $CD$ треугольной пирамиды $ABCD$ выбраны такие точки $P$ и $Q$, что $AP : PB = CQ : QD = 2$. Докажите, что прямые $AC, BD$ и $PQ$ параллельны одной плоскости.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы, отложенные от вершины A пирамиды: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Так как A, B, C, D — вершины пирамиды, эти три вектора не являются компланарными (линейно независимы).

Чтобы доказать, что прямые AC, BD и PQ параллельны одной плоскости, необходимо и достаточно показать, что их направляющие векторы компланарны, то есть один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других.

Найдем направляющие векторы для прямых AC и BD:

Направляющий вектор прямой AC — это вектор $\vec{AC} = \vec{c}$.

Направляющий вектор прямой BD — это вектор $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$.

Теперь найдем направляющий вектор прямой PQ. Для этого сначала определим положение точек P и Q.

Точка P лежит на ребре AB, и по условию $AP : PB = 2$. Это означает, что P делит отрезок AB в отношении 2:1, считая от точки A. Радиус-вектор точки P (вектор $\vec{AP}$) равен:

$\vec{AP} = \frac{2}{2+1}\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{b}$.

Точка Q лежит на ребре CD, и по условию $CQ : QD = 2$. Это означает, что Q делит отрезок CD в отношении 2:1, считая от точки C. Радиус-вектор точки Q (вектор $\vec{AQ}$) можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении:

$\vec{AQ} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AD}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2\vec{d}}{3}$.

Теперь мы можем найти направляющий вектор прямой PQ:

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{\vec{c} + 2\vec{d}}{3} - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}(\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{d})$.

Проверим, является ли вектор $\vec{PQ}$ линейной комбинацией векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Мы ищем такие числа $k$ и $m$, что выполняется равенство:

$\vec{PQ} = k \cdot \vec{AC} + m \cdot \vec{BD}$

Подставим векторные выражения:

$\frac{1}{3}(\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{d}) = k\vec{c} + m(\vec{d} - \vec{b})$

$\frac{1}{3}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} = k\vec{c} - m\vec{b} + m\vec{d}$

Поскольку векторы $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них в обеих частях равенства:

Для $\vec{c}$: $k = \frac{1}{3}$

Для $\vec{b}$: $-m = -\frac{2}{3} \implies m = \frac{2}{3}$

Для $\vec{d}$: $m = \frac{2}{3}$

Значения для $m$ совпадают. Таким образом, мы нашли коэффициенты $k=\frac{1}{3}$ и $m=\frac{2}{3}$, и можем записать:

$\vec{PQ} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{BD}$

Так как направляющий вектор $\vec{PQ}$ является линейной комбинацией направляющих векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, эти три вектора компланарны. Следовательно, прямые AC, BD и PQ параллельны одной и той же плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как направляющий вектор прямой PQ выражается через направляющие векторы прямых AC и BD: $\vec{PQ} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{BD}$, что означает компланарность векторов и параллельность прямых одной плоскости.