Номер 452, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

452. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ медианы оснований пересекаются в точках $M$ и $M_1$. Определите, в каком отношении отрезок $MM_1$ разделяется плоскостью $ABC_1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $A$ и базисными векторами $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ и $\vec{d} = \vec{AA_1}$. В этой системе координат вершины призмы и другие ключевые точки будут иметь следующие радиус-векторы (векторы, проведенные из начала координат $A$):

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{C} = \vec{c}$
• $\vec{A_1} = \vec{d}$
• $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d}$
• $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{AA_1} = \vec{c} + \vec{d}$

Точки $M$ и $M_1$ являются точками пересечения медиан (центроидами) оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Для точки $M$ в основании $ABC$:

$\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

Для точки $M_1$ в основании $A_1B_1C_1$:

$\vec{M_1} = \frac{\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}}{3} = \frac{\vec{d} + (\vec{b} + \vec{d}) + (\vec{c} + \vec{d})}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + 3\vec{d}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{d}$

Найдем вектор $\vec{MM_1}$:

$\vec{MM_1} = \vec{M_1} - \vec{M} = \left(\frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{d}\right) - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{d}$

Пусть $K$ – точка пересечения отрезка $MM_1$ с плоскостью $ABC_1$. Так как точка $K$ лежит на отрезке $MM_1$, ее радиус-вектор $\vec{K}$ можно представить в виде:

$\vec{K} = \vec{M} + t \cdot \vec{MM_1} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + t \vec{d}$, где $t$ – скалярный параметр, причем $t = \frac{MK}{MM_1}$.

С другой стороны, точка $K$ лежит в плоскости $ABC_1$. Любая точка этой плоскости может быть представлена как линейная комбинация векторов, определяющих плоскость, например, с началом в точке A:

$\vec{K} = \vec{A} + \alpha(\vec{B} - \vec{A}) + \beta(\vec{C_1} - \vec{A})$

Подставляя известные векторы, получаем:

$\vec{K} = \vec{0} + \alpha\vec{b} + \beta\vec{C_1} = \alpha\vec{b} + \beta(\vec{c} + \vec{d}) = \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} + \beta\vec{d}$

где $\alpha$ и $\beta$ – некоторые скалярные коэффициенты.

Теперь приравняем два выражения для вектора $\vec{K}$:

$\frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + t \vec{d} = \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} + \beta\vec{d}$

$\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + t\vec{d} = \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} + \beta\vec{d}$

Поскольку векторы $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ некомпланарны (они образуют базис в пространстве), равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при соответствующих векторах равны:

$\begin{cases}\alpha = \frac{1}{3} \\\beta = \frac{1}{3} \\t = \beta\end{cases}$

Из этой системы уравнений находим, что $t = \beta = \frac{1}{3}$.

Значение $t = \frac{1}{3}$ означает, что точка $K$ делит отрезок $MM_1$ таким образом, что $MK = \frac{1}{3} MM_1$.

Соответственно, длина оставшейся части отрезка $KM_1$ составляет:

$KM_1 = MM_1 - MK = MM_1 - \frac{1}{3}MM_1 = \frac{2}{3}MM_1$.

Искомое отношение $MK : KM_1$ равно:

$\frac{MK}{KM_1} = \frac{\frac{1}{3}MM_1}{\frac{2}{3}MM_1} = \frac{1}{2}$

Ответ: Плоскость $ABC_1$ делит отрезок $MM_1$ в отношении $1:2$, считая от точки $M$.