Номер 8, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Объясните, как можно находить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это отрезок, концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен обеим этим прямым. Существует несколько способов нахождения этого расстояния.

Способ 1: Метод параллельных плоскостей

Этот метод заключается в построении плоскости, содержащей одну из прямых и параллельной второй прямой. Расстояние между прямыми будет равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

1. Через прямую $a$ проведём плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Для этого на прямой $a$ выберем произвольную точку $M$ и проведём через неё прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые $a$ и $b'$, и будет искомой плоскостью $\alpha$.
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между прямой $b$ и параллельной ей плоскостью $\alpha$.
3. Чтобы найти это расстояние, нужно выбрать на прямой $b$ любую точку $N$ и найти расстояние от точки $N$ до плоскости $\alpha$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на плоскость $\alpha$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости.

Ответ: Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Способ 2: Метод ортогонального проектирования

Идея этого метода состоит в том, чтобы спроецировать обе прямые на плоскость, перпендикулярную одной из них. Тогда одна прямая спроецируется в точку, а другая — в прямую, и задача сведется к нахождению расстояния от точки до прямой на плоскости.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

1. Построим плоскость $\beta$, перпендикулярную одной из прямых, например, прямой $a$.
2. Спроецируем ортогонально обе прямые на эту плоскость $\beta$. Прямая $a$ спроецируется в точку $A'$ (точка пересечения прямой $a$ с плоскостью $\beta$). Прямая $b$ спроецируется в прямую $b'$.
3. Искомое расстояние между прямыми $a$ и $b$ будет равно расстоянию от точки $A'$ до прямой $b'$ в плоскости $\beta$.
4. Это расстояние находится как длина перпендикуляра, опущенного из точки $A'$ на прямую $b'$ в плоскости $\beta$.

Этот метод удобен, когда в задаче легко построить такую перпендикулярную плоскость (например, в кубах или правильных призмах).

Ответ: Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, спроецировав их на плоскость, перпендикулярную одной из прямых, и затем найдя расстояние от проекции-точки до проекции-прямой.

Способ 3: Координатно-векторный метод

Этот метод является универсальным и позволяет найти расстояние с помощью векторов и координат. Он основан на вычислении объёма параллелепипеда.

Пусть в трёхмерной системе координат даны две скрещивающиеся прямые:

• Прямая $l_1$, проходящая через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \{a_1, b_1, c_1\}$.
• Прямая $l_2$, проходящая через точку $M_2(x_2, y_2, z_2)$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \{a_2, b_2, c_2\}$.

Расстояние $d$ между прямыми $l_1$ и $l_2$ можно найти по формуле:

$d = \frac{\left| (\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) \right|}{\left| [\vec{s_1}, \vec{s_2}] \right|}$

Где:

• $\vec{M_1M_2}$ — это вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$.
• $(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})$ — смешанное произведение трёх векторов. Его модуль равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Вычисляется через определитель: $(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) = \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
• $[\vec{s_1}, \vec{s_2}]$ — векторное произведение направляющих векторов. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$. Этот параллелограмм является основанием упомянутого выше параллелепипеда.
• $\left| [\vec{s_1}, \vec{s_2}] \right|$ — модуль (длина) векторного произведения.

Геометрически эта формула означает, что расстояние между скрещивающимися прямыми — это высота параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{M_1M_2}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$, опущенная на основание, образованное векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$.

Ответ: В координатах расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле $d = \frac{\left| (\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) \right|}{\left| [\vec{s_1}, \vec{s_2}] \right|}$.