Номер 1, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Объясните, при решении каких задач можно использовать действия сложения векторов и умножения вектора на число.

Действия сложения векторов и умножения вектора на число являются фундаментальными линейными операциями. Они позволяют решать широкий круг задач в различных областях, таких как физика, геометрия, инженерия и компьютерная графика, где используются величины, характеризующиеся не только числовым значением (модулем), но и направлением.

Сложение векторов

Сложение векторов используется, когда необходимо найти результирующий (суммарный) эффект от нескольких одновременных воздействий или последовательных перемещений.

• Физика: нахождение равнодействующей величины.
  • Сложение сил: Если на тело действует несколько сил ($\vec{F}_1, \vec{F}_2, \ldots$), их общее действие описывается равнодействующей силой $\vec{F}_{рез}$, которая является векторной суммой этих сил: $\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots$. Например, если два человека тянут лодку в разных направлениях, направление и скорость её движения определяются суммой векторов сил, которые они прикладывают.
  • Сложение скоростей (закон сложения скоростей): При движении в подвижной системе отсчета скорости складываются по векторному правилу. Например, скорость лодки относительно берега ($\vec{v}_{абс}$) равна сумме её скорости относительно воды ($\vec{v}_{отн}$) и скорости течения реки ($\vec{v}_{пер}$): $\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$.
  • Сложение перемещений: Если тело совершает несколько последовательных перемещений ($\vec{s}_1, \vec{s}_2, \ldots$), его итоговое перемещение $\vec{s}_{общ}$ из начальной точки в конечную равно векторной сумме этих перемещений: $\vec{s}_{общ} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2 + \ldots$.
• Геометрия: определение положения точек и доказательство теорем.
  • Правило треугольника и параллелограмма: Геометрические построения для сложения векторов (например, правило треугольника $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$) используются для решения геометрических задач. С помощью векторов можно доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, или что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  • Нахождение координат точки: Радиус-вектор точки B ($\vec{OB}$) можно найти, зная радиус-вектор точки A ($\vec{OA}$) и вектор, соединяющий эти точки ($\vec{AB}$): $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$.

Умножение вектора на число (скаляр)

Умножение вектора на число используется для изменения его длины (масштабирования) и, возможно, направления на противоположное (если число отрицательное).

• Физика: установление связи между различными векторными величинами.
  • Второй закон Ньютона: Формула $\vec{F} = m\vec{a}$ показывает, что вектор силы $\vec{F}$ коллинеарен вектору ускорения $\vec{a}$ (направлен в ту же сторону, т.к. масса $m$ положительна) и его модуль в $m$ раз больше. Масса $m$ здесь — скалярный множитель.
  • Импульс тела: Импульс $\vec{p}$ определяется как произведение массы $m$ на скорость $\vec{v}$: $\vec{p} = m\vec{v}$.
  • Сила в электрическом поле: Сила, действующая на заряд $q$ в электрическом поле с напряженностью $\vec{E}$, равна $\vec{F} = q\vec{E}$. Направление силы совпадает с направлением поля для положительного заряда и противоположно ему для отрицательного.
• Геометрия: работа с коллинеарными векторами и пропорциями.
  • Условие коллинеарности: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (параллельны), если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Это используется для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой или что две прямые параллельны.
  • Деление отрезка в заданном отношении: Если точка M делит отрезок AB в отношении $AM:MB = \lambda$, то её радиус-вектор можно выразить через радиус-векторы концов отрезка: $\vec{OM} = \frac{1}{1+\lambda}\vec{OA} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{OB}$. Это пример совместного использования сложения и умножения на число.

Совместное использование (линейные комбинации)

В большинстве сложных задач оба действия используются вместе, образуя так называемые линейные комбинации векторов вида $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$.

• Разложение вектора по базису: Любой вектор на плоскости можно единственным образом представить как линейную комбинацию двух неколлинеарных векторов (базиса): $\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Это основа координатного метода в геометрии и физике.
• Нахождение центра масс системы: Радиус-вектор центра масс системы материальных точек определяется как взвешенная сумма их радиус-векторов: $\vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \ldots + m_n\vec{r}_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$.
• Компьютерная графика: Трансформации объектов (перемещение, масштабирование, вращение) моделируются с помощью векторных операций. Перемещение объекта на вектор $\vec{d}$ означает прибавление этого вектора к радиус-векторам всех его вершин.

Ответ: Действия сложения векторов и умножения вектора на число используются для решения задач, в которых фигурируют векторные величины (имеющие направление и величину), такие как сила, скорость, перемещение. Сложение позволяет находить результирующий эффект от нескольких факторов (например, равнодействующую силу или итоговое перемещение). Умножение на число позволяет масштабировать векторные величины (например, в законе Ньютона $\vec{F} = m\vec{a}$) и устанавливать отношения между ними (например, коллинеарность). Совместно эти операции лежат в основе координатного метода, нахождения центра масс, моделирования движения и трансформаций в физике, геометрии и компьютерной графике.