Номер 451, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

451. Вершины $A$, $D$ и $A_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ имеют координаты $(1; 0; 0)$, $(-1; 0; 0)$ и $(1; 0; 2)$ соответственно. Учитывая, что ордината точки $B$ положительна, найдите:

а) координаты точек $B$, $C$, $E_1$, $F_1$;

б) уравнение плоскости $ADA_1$;

в) уравнение плоскости $ABA_1$;

г) уравнение плоскости $ACE_1$;

д) уравнение плоскости $ACD_1$;

е) уравнение плоскости $ACF_1$;

ж) расстояние от $B$ до плоскости $ADA_1$;

з) расстояние от $C$ до плоскости $ABA_1$;

и) расстояние от $B_1$ до плоскости $ADA_1$;

к) расстояние от $B_1$ до плоскости $ACE_1$;

л) расстояние от $B_1$ до плоскости $ACD_1$;

м) расстояние от $E_1$ до плоскости $ACF_1$.

В основе задачи лежит правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Заданы координаты вершин $A(1; 0; 0)$, $D(-1; 0; 0)$ и $A_1(1; 0; 2)$.

1. Анализ геометрии и координат:

• Вектор $\vec{AA_1} = (1-1; 0-0; 2-0) = (0; 0; 2)$. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что основания призмы лежат в плоскостях, параллельных плоскости $Oxy$. Нижнее основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $z=0$, а верхнее $A_1B_1C_1D_1E_1$ — в плоскости $z=2$. Высота призмы $h=2$.
• Вершины $A$ и $D$ лежат в плоскости $z=0$. Расстояние между ними — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина этой диагонали равна $|-1 - 1| = 2$.
• Для правильного шестиугольника со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$. Следовательно, $2a = 2$, откуда сторона шестиугольника $a=1$.
• Центр нижнего основания — середина отрезка $AD$. Координаты центра $O = (\frac{1+(-1)}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0; 0; 0)$.

2. Нахождение координат вершин основания: Вершины правильного шестильника с центром в начале координат и стороной 1, где одна из вершин $A(1;0;0)$, можно найти, поворачивая вектор $\vec{OA}$ на углы, кратные $60^\circ$.

• $A(1; 0; 0)$
• $B(1 \cdot \cos(60^\circ); 1 \cdot \sin(60^\circ); 0) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. Ордината (y) положительна, что соответствует условию.
• $C(1 \cdot \cos(120^\circ); 1 \cdot \sin(120^\circ); 0) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$
• $D(1 \cdot \cos(180^\circ); 1 \cdot \sin(180^\circ); 0) = (-1; 0; 0)$, что совпадает с данными.
• $E(1 \cdot \cos(240^\circ); 1 \cdot \sin(240^\circ); 0) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$
• $F(1 \cdot \cos(300^\circ); 1 \cdot \sin(300^\circ); 0) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1} = (0; 0; 2)$.

а) координаты точек B, C, E₁, F₁

Используя выведенные выше общие формулы для вершин, находим координаты требуемых точек:

• $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$
• $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$
• $E_1$: сначала находим $E(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$, затем прибавляем вектор сдвига $(0;0;2)$, получаем $E_1(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$.
• $F_1$: сначала находим $F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$, затем прибавляем вектор сдвига $(0;0;2)$, получаем $F_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$.

Ответ: $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$, $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$, $F_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$.

б) уравнение плоскости ADA₁

Плоскость проходит через точки $A(1; 0; 0)$, $D(-1; 0; 0)$ и $A_1(1; 0; 2)$. У всех трех точек ордината (координата $y$) равна нулю. Следовательно, все точки этой плоскости имеют ординату 0. Уравнение плоскости — это $y=0$.
Ответ: $y=0$.

в) уравнение плоскости ABA₁

Плоскость проходит через точки $A(1; 0; 0)$, $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и $A_1(1; 0; 2)$. Найдем векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AB} = (\frac{1}{2}-1; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-0) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. $\vec{AA_1} = (1-1; 0-0; 2-0) = (0; 0; 2)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AA_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 2) + \mathbf{k}(0) = (\sqrt{3}; 1; 0)$. Уравнение плоскости имеет вид $\sqrt{3}x + 1y + 0z + d = 0$. Подставим координаты точки $A(1; 0; 0)$ для нахождения $d$: $\sqrt{3}(1) + 0 + d = 0 \implies d = -\sqrt{3}$. Уравнение плоскости: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.
Ответ: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.

г) уравнение плоскости ACE₁

Плоскость проходит через точки $A(1; 0; 0)$, $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Векторы в плоскости: $\vec{AC} = (-\frac{1}{2}-1; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-0) = (-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. $\vec{AE_1} = (-\frac{1}{2}-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}-0; 2-0) = (-\frac{3}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AE_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2; -(-\frac{3}{2}\cdot 2); (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2})) = (\sqrt{3}; 3; \frac{3\sqrt{3}}{2})$. Упростим вектор нормали, умножив на $\frac{2}{\sqrt{3}}$: $\vec{n'} = (2; 2\sqrt{3}; 3)$. Уравнение плоскости: $2x + 2\sqrt{3}y + 3z + d = 0$. Подставим координаты точки $A(1; 0; 0)$: $2(1) + 2\sqrt{3}(0) + 3(0) + d = 0 \implies d = -2$. Уравнение: $2x + 2\sqrt{3}y + 3z - 2 = 0$.
Ответ: $2x + 2\sqrt{3}y + 3z - 2 = 0$.

д) уравнение плоскости ACD₁

Плоскость проходит через точки $A(1; 0; 0)$, $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и $D_1(-1; 0; 2)$. Векторы в плоскости: $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. $\vec{AD_1} = (-1-1; 0-0; 2-0) = (-2; 0; 2)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2; -(-\frac{3}{2}\cdot 2); -(\frac{\sqrt{3}}{2})(-2)) = (\sqrt{3}; 3; \sqrt{3})$. Упростим вектор нормали, разделив на $\sqrt{3}$: $\vec{n'} = (1; \sqrt{3}; 1)$. Уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y + z + d = 0$. Подставим координаты точки $A(1; 0; 0)$: $1 + \sqrt{3}(0) + 0 + d = 0 \implies d = -1$. Уравнение: $x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$.
Ответ: $x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$.

е) уравнение плоскости ACF₁

Плоскость проходит через точки $A(1; 0; 0)$, $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Проверим, лежит ли точка $F_1$ в плоскости $ACD_1$, уравнение которой $x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$. Подставляем координаты $F_1$: $\frac{1}{2} + \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 - 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $F_1$ лежит в плоскости $ACD_1$, значит плоскости $ACF_1$ и $ACD_1$ совпадают.
Ответ: $x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$.

Для следующих пунктов используется формула расстояния от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

ж) расстояние от B до плоскости ADA₁

Точка $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. Плоскость $ADA_1$ имеет уравнение $y=0$ (или $0x+1y+0z+0=0$). $d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

з) расстояние от C до плоскости ABA₁

Точка $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$. Плоскость $ABA_1$ имеет уравнение $\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$. $d = \frac{|\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

и) расстояние от B₁ до плоскости ADA₁

Координаты $B_1$ получаются сдвигом $B$ на $(0;0;2)$, т.е. $B_1(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Плоскость $ADA_1$: $y=0$. $d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

к) расстояние от B₁ до плоскости ACE₁

Точка $B_1(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Плоскость $ACE_1$: $2x+2\sqrt{3}y+3z-2=0$. $d = \frac{|2(\frac{1}{2}) + 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 3(2) - 2|}{\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2+3^2}} = \frac{|1 + 3 + 6 - 2|}{\sqrt{4+12+9}} = \frac{|8|}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$.
Ответ: $\frac{8}{5}$.

л) расстояние от B₁ до плоскости ACD₁

Точка $B_1(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Плоскость $ACD_1$: $x+\sqrt{3}y+z-1=0$. $d = \frac{|\frac{1}{2} + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 - 1|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+1^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{1+3+1}} = \frac{|2+1|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

м) расстояние от E₁ до плоскости ACF₁

Точка $E_1(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 2)$. Плоскость $ACF_1$ (та же, что и $ACD_1$): $x+\sqrt{3}y+z-1=0$. $d = \frac{|(-\frac{1}{2}) + \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 - 1|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+1^2}} = \frac{|-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|-2+1|}{\sqrt{5}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.