Номер 444, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

444. Вершины $A$, $B$ и $C$ треугольной пирамиды $ABCD$ лежат на координатных осях, а вершина $D$ имеет координаты $(3; 2; 1)$. Найдите координаты вершин $A$, $B$ и $C$, учитывая, что плоские углы пирамиды при вершине $D$ все прямые.

По условию задачи, вершины $A$, $B$ и $C$ треугольной пирамиды $ABCD$ лежат на координатных осях. Это означает, что каждая из этих вершин имеет две нулевые координаты. Без ограничения общности, разместим вершину $A$ на оси $Ox$, вершину $B$ на оси $Oy$ и вершину $C$ на оси $Oz$. Тогда их координаты можно записать в следующем виде:
$A(x_A; 0; 0)$
$B(0; y_B; 0)$
$C(0; 0; z_C)$
Координаты вершины $D$ известны: $D(3; 2; 1)$.

Другое условие задачи заключается в том, что плоские углы при вершине $D$ все прямые. Это означает, что рёбра, выходящие из вершины $D$, попарно перпендикулярны:
$DA \perp DB$
$DB \perp DC$
$DC \perp DA$

В векторной алгебре условие перпендикулярности двух векторов эквивалентно равенству нулю их скалярного произведения. Найдем векторы, соответствующие рёбрам, выходящим из вершины $D$:
$\vec{DA} = (x_A - 3; 0 - 2; 0 - 1) = (x_A - 3; -2; -1)$
$\vec{DB} = (0 - 3; y_B - 2; 0 - 1) = (-3; y_B - 2; -1)$
$\vec{DC} = (0 - 3; 0 - 2; z_C - 1) = (-3; -2; z_C - 1)$

Теперь запишем условия перпендикулярности через скалярные произведения и составим систему уравнений:
1. $\vec{DA} \cdot \vec{DB} = 0$
$(x_A - 3) \cdot (-3) + (-2) \cdot (y_B - 2) + (-1) \cdot (-1) = 0$
$-3x_A + 9 - 2y_B + 4 + 1 = 0$
$3x_A + 2y_B = 14$

2. $\vec{DB} \cdot \vec{DC} = 0$
$(-3) \cdot (-3) + (y_B - 2) \cdot (-2) + (-1) \cdot (z_C - 1) = 0$
$9 - 2y_B + 4 - z_C + 1 = 0$
$2y_B + z_C = 14$

3. $\vec{DC} \cdot \vec{DA} = 0$
$(-3) \cdot (x_A - 3) + (-2) \cdot (-2) + (z_C - 1) \cdot (-1) = 0$
$-3x_A + 9 + 4 - z_C + 1 = 0$
$3x_A + z_C = 14$

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $x_A$, $y_B$ и $z_C$:
$\begin{cases} 3x_A + 2y_B = 14 \\ 2y_B + z_C = 14 \\ 3x_A + z_C = 14 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго и третьего уравнений следует, что $2y_B = 14 - z_C$ и $3x_A = 14 - z_C$. Следовательно, $3x_A = 2y_B$.
Подставим выражение $2y_B = 3x_A$ в первое уравнение системы:
$3x_A + 3x_A = 14$
$6x_A = 14$
$x_A = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
Теперь найдем $y_B$:
$2y_B = 3x_A = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$
$y_B = \frac{7}{2}$
Наконец, найдем $z_C$ из третьего уравнения:
$z_C = 14 - 3x_A = 14 - 3 \cdot \frac{7}{3} = 14 - 7 = 7$

Таким образом, мы нашли искомые координаты для нашего выбора расположения вершин на осях:
$A(\frac{7}{3}; 0; 0)$, $B(0; \frac{7}{2}; 0)$, $C(0; 0; 7)$.
Следует отметить, что поскольку в условии не указано, какая из вершин (A, B или C) на какой оси лежит, то возможны и другие варианты, являющиеся перестановками этих координат. Например, $A(0; \frac{7}{2}; 0)$, $B(\frac{7}{3}; 0; 0)$, $C(0; 0; 7)$. Однако набор точек на осях, являющихся вершинами пирамиды, определяется однозначно.

Ответ: Координаты вершин могут быть, например, $A(\frac{7}{3}; 0; 0)$, $B(0; \frac{7}{2}; 0)$, $C(0; 0; 7)$.