Номер 441, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

441. Определите, какой угол — острый, прямой или тупой — образует с координатными осями вектор:

а) $\vec{a} = 5\vec{j} - 3\vec{k}$;

б) $\vec{b} = -2\vec{i} + \vec{j}$;

в) $\vec{c} = -3\vec{k}$.

Чтобы определить, какой угол (острый, прямой или тупой) образует вектор с координатными осями, достаточно посмотреть на знаки его координат. Каждая координата вектора $\vec{v} = (x, y, z)$ соответствует его проекции на соответствующую ось, и ее знак определяет тип угла с этой осью.

Это следует из формулы для косинуса угла $\alpha$ между вектором $\vec{v}$ и, например, осью Ox (направляющим вектором которой является $\vec{i}=(1,0,0)$):

$\cos\alpha = \frac{\vec{v} \cdot \vec{i}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{|\vec{v}| \cdot 1} = \frac{x}{|\vec{v}|}$

Так как длина вектора $|\vec{v}|$ всегда положительна (для ненулевого вектора), знак $\cos\alpha$ совпадает со знаком координаты $x$.

• Если координата положительна ($x > 0$), то косинус угла положителен, и угол острый (от $0^\circ$ до $90^\circ$).
• Если координата равна нулю ($x = 0$), то косинус угла равен нулю, и угол прямой ($90^\circ$).
• Если координата отрицательна ($x < 0$), то косинус угла отрицателен, и угол тупой (от $90^\circ$ до $180^\circ$).

Применим это правило к каждому вектору.

а)

Вектор $\vec{a} = 5\vec{j} - 3\vec{k}$ можно записать в координатах как $\vec{a} = (0, 5, -3)$.

• Координата по оси Ox равна $0$, значит, угол с осью Ox — прямой.
• Координата по оси Oy равна $5$ (положительная), значит, угол с осью Oy — острый.
• Координата по оси Oz равна $-3$ (отрицательная), значит, угол с осью Oz — тупой.

Ответ: с осью Ox вектор образует прямой угол, с осью Oy — острый угол, с осью Oz — тупой угол.

б)

Вектор $\vec{b} = -2\vec{i} + \vec{j}$ можно записать в координатах как $\vec{b} = (-2, 1, 0)$.

• Координата по оси Ox равна $-2$ (отрицательная), значит, угол с осью Ox — тупой.
• Координата по оси Oy равна $1$ (положительная), значит, угол с осью Oy — острый.
• Координата по оси Oz равна $0$, значит, угол с осью Oz — прямой.

Ответ: с осью Ox вектор образует тупой угол, с осью Oy — острый угол, с осью Oz — прямой угол.

в)

Вектор $\vec{c} = -3\vec{k}$ можно записать в координатах как $\vec{c} = (0, 0, -3)$.

• Координата по оси Ox равна $0$, значит, угол с осью Ox — прямой.
• Координата по оси Oy равна $0$, значит, угол с осью Oy — прямой.
• Координата по оси Oz равна $-3$ (отрицательная), значит, угол с осью Oz — тупой.

Ответ: с осями Ox и Oy вектор образует прямые углы, с осью Oz — тупой угол.