Номер 7, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Как можно найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки пространства?

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки пространства $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, необходимо убедиться, что эти точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Если это условие выполняется, существует единственная плоскость, проходящая через них.

Основной метод нахождения уравнения такой плоскости основан на свойстве компланарности векторов.

Рассмотрим произвольную точку $M(x, y, z)$, принадлежащую искомой плоскости. Составим три вектора, исходящие из одной из заданных точек, например, из $M_1$: вектор $\vec{M_1M} = (x - x_1, y - y_1, z - z_1)$ (от точки $M_1$ к произвольной точке плоскости $M$), вектор $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ и вектор $\vec{M_1M_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)$ (оба лежат в искомой плоскости).

Так как все три вектора ($\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$, $\vec{M_1M_3}$) лежат в одной плоскости, они являются компланарными. Условие компланарности трех векторов — это равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение, в свою очередь, вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов.

Таким образом, уравнение плоскости получается из условия равенства нулю этого определителя:

$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Раскрыв данный определитель (например, по первой строке), мы получим уравнение вида $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$, которое после упрощения примет общий вид уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, задается равенством: $ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости.