Номер 6, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Каким уравнением задаётся плоскость, проходящая через данную точку пространства перпендикулярно указанному вектору?

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярно заданному вектору, необходимо использовать определение нормального вектора плоскости.

Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана точка $M_0$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и ненулевой вектор $\vec{n}$ с координатами $(A, B, C)$. Требуется составить уравнение плоскости $\alpha$, которая проходит через точку $M_0$ и перпендикулярна вектору $\vec{n}$. Такой вектор $\vec{n}$ называется нормальным вектором плоскости $\alpha$.

Возьмем на искомой плоскости $\alpha$ произвольную (текущую) точку $M$ с координатами $(x, y, z)$.

Рассмотрим вектор $\vec{M_0M}$, который соединяет точки $M_0$ и $M$. Поскольку обе точки лежат в плоскости $\alpha$, то и сам вектор $\vec{M_0M}$ лежит в этой плоскости. Координаты этого вектора находятся как разность координат конца и начала вектора:$\vec{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ перпендикулярна вектору $\vec{n}$. Это означает, что любой вектор, лежащий в плоскости $\alpha$, должен быть перпендикулярен вектору $\vec{n}$. Следовательно, вектор $\vec{M_0M}$ перпендикулярен вектору $\vec{n}$ (что можно записать как $\vec{M_0M} \perp \vec{n}$).

Основное свойство перпендикулярных векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, мы можем записать:$\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.

Теперь подставим координаты векторов $\vec{n} = (A, B, C)$ и $\vec{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ в формулу скалярного произведения:$A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) + C \cdot (z - z_0) = 0$.

Это и есть искомое уравнение. Оно связывает координаты $x, y, z$ любой точки плоскости с координатами данной точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и координатами нормального вектора $\vec{n}(A, B, C)$.

Данное уравнение можно также преобразовать к общему уравнению плоскости, раскрыв скобки: $Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0$. Обозначив свободный член $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$, получим общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Ответ: Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\vec{n}(A, B, C)$, задаётся уравнением $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.