Номер 3, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Как найти скалярное произведение векторов, используя их декартовы координаты?

3. Скалярное произведение векторов, заданных в декартовых координатах, находится путем суммирования произведений их соответствующих координат. Эта операция применима как для векторов на плоскости (2D), так и для векторов в пространстве (3D).

Для векторов на плоскости
Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами:
$\vec{a} = (x_1, y_1)$
$\vec{b} = (x_2, y_2)$
Их скалярное произведение, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

Для векторов в пространстве
Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами:
$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$
$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$
Формула для вычисления скалярного произведения аналогична, но включает третью координату:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Пример:
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a} = (2, -3, 0)$ и $\vec{b} = (5, 1, -4)$.
Согласно формуле для трехмерного пространства, необходимо перемножить соответствующие координаты и сложить результаты:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot 5) + (-3 \cdot 1) + (0 \cdot (-4)) = 10 - 3 + 0 = 7$
Результатом является скаляр (число) 7.

Ответ: Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ необходимо сложить произведения их соответствующих координат по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.