Номер 434, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

434. Прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ скрещиваются. Точки $A_3$ и $B_3$ выбраны так, что $\vec{A_1A_3} = k \cdot \vec{A_1A_2}$ и $\vec{B_1B_3} = k \cdot \vec{B_1B_2}$. Докажите, что прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны одной плоскости.

Для того чтобы доказать, что прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны одной плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\vec{A_1B_1}$, $\vec{A_2B_2}$ и $\vec{A_3B_3}$ являются компланарными. Три вектора компланарны, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других.

Введем в рассмотрение произвольную точку $O$ в пространстве и соответствующие радиус-векторы точек: $\vec{OA_1}$, $\vec{OA_2}$, $\vec{OA_3}$, $\vec{OB_1}$, $\vec{OB_2}$, $\vec{OB_3}$.

Из условия задачи нам даны следующие векторные равенства:

$\vec{A_1A_3} = k \cdot \vec{A_1A_2}$

$\vec{B_1B_3} = k \cdot \vec{B_1B_2}$

Перепишем эти равенства, используя радиус-векторы:

$\vec{OA_3} - \vec{OA_1} = k \cdot (\vec{OA_2} - \vec{OA_1})$

$\vec{OB_3} - \vec{OB_1} = k \cdot (\vec{OB_2} - \vec{OB_1})$

Выразим из этих уравнений $\vec{OA_3}$ и $\vec{OB_3}$:

$\vec{OA_3} = \vec{OA_1} + k \cdot \vec{OA_2} - k \cdot \vec{OA_1} = (1-k)\vec{OA_1} + k\vec{OA_2}$

$\vec{OB_3} = \vec{OB_1} + k \cdot \vec{OB_2} - k \cdot \vec{OB_1} = (1-k)\vec{OB_1} + k\vec{OB_2}$

Теперь найдем выражение для направляющего вектора $\vec{A_3B_3}$:

$\vec{A_3B_3} = \vec{OB_3} - \vec{OA_3}$

Подставим в это равенство найденные выражения для $\vec{OA_3}$ и $\vec{OB_3}$:

$\vec{A_3B_3} = ((1-k)\vec{OB_1} + k\vec{OB_2}) - ((1-k)\vec{OA_1} + k\vec{OA_2})$

Сгруппируем слагаемые с общими коэффициентами:

$\vec{A_3B_3} = (1-k)(\vec{OB_1} - \vec{OA_1}) + k(\vec{OB_2} - \vec{OA_2})$

Заметим, что $\vec{OB_1} - \vec{OA_1} = \vec{A_1B_1}$ и $\vec{OB_2} - \vec{OA_2} = \vec{A_2B_2}$. Таким образом, получаем:

$\vec{A_3B_3} = (1-k)\vec{A_1B_1} + k\vec{A_2B_2}$

Мы выразили вектор $\vec{A_3B_3}$ как линейную комбинацию векторов $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_2B_2}$. Это означает, что три вектора $\vec{A_1B_1}$, $\vec{A_2B_2}$ и $\vec{A_3B_3}$ компланарны.

Так как направляющие векторы прямых $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ компланарны, то эти прямые параллельны некоторой плоскости.

Ответ: Что и требовалось доказать.