Номер 1, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Как определяется скалярное произведение векторов?

1. Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (то есть число, а не вектор). Эта операция широко используется в линейной алгебре, геометрии и физике. Существует два эквивалентных определения скалярного произведения: геометрическое и алгебраическое.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

Формула выглядит следующим образом:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Здесь $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а $\alpha$ — это угол, образованный этими векторами, если отложить их от одной точки ($0 \le \alpha \le \pi$).

Если хотя бы один из векторов является нулевым, их скалярное произведение по определению равно нулю.

Геометрический смысл скалярного произведения заключается в том, что оно равно произведению длины одного вектора на проекцию другого вектора на его направление: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{пр}_{\vec{b}}\vec{a}$.

Алгебраическое определение (в координатах)

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат, то скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат.

Для двух векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x, a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Для двух векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

В общем случае для векторов в n-мерном евклидовом пространстве:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Эти два определения эквивалентны.

Основные свойства скалярного произведения:

• Коммутативность (переместительность): Порядок векторов не важен.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

• Дистрибутивность (распределительность): Скалярное произведение суммы векторов можно раскрывать.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

• Сочетательность с умножением на скаляр: Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

• Скалярный квадрат: Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Угол $\alpha=0$, $\cos(0)=1$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}|\cos(0) = |\vec{a}|^2$

• Условие ортогональности: Два ненулевых вектора являются ортогональными (перпендикулярными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Это следует из того, что $\cos(90^\circ) = 0$.
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число (скаляр), которое определяется либо геометрически как произведение длин векторов на косинус угла между ними ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$), либо алгебраически как сумма произведений соответствующих координат векторов ($\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + \dots$).