Номер 4, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Для решения каких задач удобно использовать скалярное умножение векторов?

Скалярное произведение векторов, результатом которого является скаляр (число), является мощным инструментом в геометрии и физике. Оно связывает алгебраические операции над координатами векторов с их геометрическими характеристиками, такими как длина и угол. Скалярное произведение удобно использовать для решения следующих задач:

1. Нахождение угла между векторами
Это одна из наиболее частых задач, решаемых с помощью скалярного произведения. Геометрическое определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$ напрямую связывает его с косинусом угла $\alpha$ между векторами. Из этого определения можно выразить косинус угла:
$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Если векторы заданы своими координатами, например, в пространстве $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то формула становится особенно удобной для вычислений:
$\cos\alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Ответ: Скалярное произведение используется для вычисления косинуса угла между двумя векторами, что позволяет найти и сам угол.

2. Проверка перпендикулярности (ортогональности) векторов
Данная задача является прямым следствием предыдущей. Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан). Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, условие перпендикулярности сводится к простому алгебраическому равенству:
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
Это позволяет быстро проверить, являются ли векторы ортогональными, просто вычислив их скалярное произведение по координатам и сравнив результат с нулем.
Ответ: Равенство скалярного произведения нулю является необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов.

3. Вычисление длины (модуля) вектора
Скалярное произведение вектора на самого себя, называемое скалярным квадратом, равно квадрату его длины (модуля). Это следует из определения, так как угол между вектором и им самим равен нулю, а $\cos(0) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0) = |\vec{a}|^2$
Следовательно, длину вектора можно найти как квадратный корень из его скалярного квадрата:
$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
В координатах это соответствует известной формуле, обобщающей теорему Пифагора: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
Ответ: Длина вектора вычисляется как квадратный корень из скалярного произведения этого вектора на самого себя.

4. Нахождение проекции одного вектора на другой
В геометрии и механике часто требуется найти проекцию одного вектора на направление другого. Скалярная проекция вектора $\vec{b}$ на направление вектора $\vec{a}$ (обозначается $np_{\vec{a}}\vec{b}$) — это число, равное $|\vec{b}|\cos\alpha$. Используя скалярное произведение, ее легко вычислить:
$np_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
Эта величина показывает, "какая часть" вектора $\vec{b}$ действует в направлении вектора $\vec{a}$. Проекция может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Ответ: Скалярное произведение позволяет вычислить скалярную проекцию одного вектора на направление другого, что необходимо для разложения векторов на составляющие.

5. Вычисление работы постоянной силы в физике
Это классическое применение скалярного произведения в физике. Если на тело, совершающее перемещение, которое описывается вектором $\vec{d}$, действует постоянная сила $\vec{F}$, то совершенная работа $A$ вычисляется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.
$A = \vec{F} \cdot \vec{d}$
Из определения следует, что $A = |\vec{F}| |\vec{d}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения. Это показывает, что работа совершается только той компонентой силы, которая направлена вдоль вектора перемещения.
Ответ: В физике скалярное произведение векторов силы и перемещения используется для нахождения работы, совершаемой этой силой.