Номер 8, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту плоскость.

Чтобы понять это определение, рассмотрим точку $M$, не лежащую в плоскости $\alpha$. Из точки $M$ можно провести множество отрезков, соединяющих ее с точками плоскости $\alpha$.

Один из этих отрезков, $MH$, будет перпендикулярен плоскости $\alpha$. Он называется перпендикуляром. Точка $H$, лежащая в плоскости $\alpha$, называется основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка $MH$ и является искомым расстоянием.

Любой другой отрезок $MK$, соединяющий точку $M$ с точкой $K$ плоскости $\alpha$ (где $K$ не совпадает с $H$), называется наклонной. Важным свойством является то, что длина перпендикуляра всегда меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости ($MH < MK$). Таким образом, расстояние от точки до плоскости — это кратчайшее расстояние между этой точкой и точками данной плоскости.

В аналитической геометрии, если известны координаты точки $M(x_0, y_0, z_0)$ и общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ от точки до плоскости можно найти по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

где $(A, B, C)$ — это координаты вектора нормали (вектора, перпендикулярного плоскости).

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.