Номер 5, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Какому условию удовлетворяют координаты любой точки некоторой плоскости?

В трехмерной прямоугольной системе координат любая плоскость может быть задана уравнением. Координаты $(x, y, z)$ каждой точки, принадлежащей этой плоскости, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Таким условием является линейное уравнение первой степени относительно переменных $x, y$ и $z$. Это уравнение называется общим уравнением плоскости и имеет следующий вид:

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

Рассмотрим подробнее компоненты этого уравнения:

• $x, y, z$ — это переменные, представляющие координаты произвольной точки $M(x, y, z)$ на плоскости.
• $A, B, C, D$ — это постоянные числовые коэффициенты, которые определяют конкретную плоскость, ее ориентацию и положение в пространстве.

Существует важное ограничение на коэффициенты $A, B$ и $C$: они не могут быть все одновременно равны нулю. Если бы $A=B=C=0$, уравнение превратилось бы в $D=0$. В этом случае, если $D=0$, уравнению удовлетворяла бы любая точка пространства, а если $D \neq 0$, у уравнения не было бы решений. Ни тот, ни другой случай не описывает плоскость. Поэтому обязательным условием является $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$.

Геометрический смысл коэффициентов $A, B, C$ заключается в том, что они являются координатами вектора нормали $\vec{n} = \{A, B, C\}$. Вектор нормали — это вектор, который перпендикулярен (ортогонален) данной плоскости. Это означает, что он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости.

Коэффициент $D$ влияет на положение плоскости относительно начала координат. Если $D=0$, то уравнение принимает вид $Ax + By + Cz = 0$. Начало координат $O(0, 0, 0)$ удовлетворяет этому уравнению ($A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = 0$), следовательно, плоскость проходит через начало координат.

Таким образом, основное условие, которому удовлетворяют координаты любой точки на плоскости, — это превращение общего уравнения плоскости в верное числовое равенство при подстановке этих координат.

Ответ: Координаты $(x, y, z)$ любой точки некоторой плоскости удовлетворяют линейному уравнению вида $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A, B, C, D$ — постоянные числа, причем хотя бы одно из чисел $A, B, C$ не равно нулю.