Номер 436, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

436. Центр основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находится в начале декартовой системы координат $Oxyz$, боковые рёбра параллельны оси аппликат, а вершина A располагается на оси абсцисс (рис. 369). Учитывая, что все рёбра призмы равны $a$, найдите координаты векторов $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{AA_1}$, а потом и координаты векторов:

а) $\overrightarrow{B_1E}$;

б) $\overrightarrow{F_1C}$;

в) $\overrightarrow{AC_1}$;

г) $\overrightarrow{AD_1}$;

д) $\overrightarrow{BD}$;

е) $\overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{BE}$.

Рис. 369

Для решения задачи сначала найдем координаты вершин правильной шестиугольной призмы. Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ и стороной $a$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a$.

Вершина $A$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), следовательно, ее координаты $A(a, 0, 0)$. Остальные вершины основания лежат в плоскости $Oxy$ ($z=0$). Угол между радиус-векторами соседних вершин, проведенными из центра, составляет $360^\circ/6 = 60^\circ$. Найдем координаты остальных вершин, используя тригонометрические функции в полярной системе координат, где радиус равен $a$:

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):
$A$: угол $0^\circ \implies A(a\cos(0^\circ), a\sin(0^\circ), 0) \implies A(a, 0, 0)$
$B$: угол $60^\circ \implies B(a\cos(60^\circ), a\sin(60^\circ), 0) \implies B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C$: угол $120^\circ \implies C(a\cos(120^\circ), a\sin(120^\circ), 0) \implies C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D$: угол $180^\circ \implies D(a\cos(180^\circ), a\sin(180^\circ), 0) \implies D(-a, 0, 0)$
$E$: угол $240^\circ \implies E(a\cos(240^\circ), a\sin(240^\circ), 0) \implies E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F$: угол $300^\circ \implies F(a\cos(300^\circ), a\sin(300^\circ), 0) \implies F(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Боковые рёбра призмы параллельны оси аппликат ($Oz$) и равны $a$. Значит, верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получено сдвигом нижнего основания на $a$ вдоль оси $Oz$. Координаты вершин верхнего основания ($z=a$):
$A_1(a, 0, a)$
$B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
$C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
$D_1(-a, 0, a)$
$E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
$F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$

Теперь найдем координаты требуемых векторов. Координаты вектора $\vec{PQ}$ с началом в точке $P(x_P, y_P, z_P)$ и концом в точке $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ вычисляются по формуле $\vec{PQ} = \{x_Q - x_P; y_Q - y_P; z_Q - z_P\}$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{AA_1}$
$\vec{OA} = \{a - 0; 0 - 0; 0 - 0\} = \{a; 0; 0\}$
$\vec{OB} = \{\frac{a}{2} - 0; \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - 0\} = \{\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\}$
$\vec{AA_1} = \{a - a; 0 - 0; a - 0\} = \{0; 0; a\}$

Ответ: $\vec{OA}\{a; 0; 0\}$, $\vec{OB}\{\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\}$, $\vec{AA_1}\{0; 0; a\}$.

а) $\vec{B_1E}$

Начало вектора в точке $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$, конец в точке $E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{B_1E} = \{-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0 - a\} = \{-a; -a\sqrt{3}; -a\}$.

Ответ: $\vec{B_1E}\{-a; -a\sqrt{3}; -a\}$.

б) $\vec{F_1C}$

Начало вектора в точке $F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$, конец в точке $C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{F_1C} = \{-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}); 0 - a\} = \{-a; a\sqrt{3}; -a\}$.

Ответ: $\vec{F_1C}\{-a; a\sqrt{3}; -a\}$.

в) $\vec{AC_1}$

Начало вектора в точке $A(a, 0, 0)$, конец в точке $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.
$\vec{AC_1} = \{-\frac{a}{2} - a; \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0; a - 0\} = \{-\frac{3a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; a\}$.

Ответ: $\vec{AC_1}\{-\frac{3a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; a\}$.

г) $\vec{AD_1}$

Начало вектора в точке $A(a, 0, 0)$, конец в точке $D_1(-a, 0, a)$.
$\vec{AD_1} = \{-a - a; 0 - 0; a - 0\} = \{-2a; 0; a\}$.

Ответ: $\vec{AD_1}\{-2a; 0; a\}$.

д) $\vec{BD}$

Начало вектора в точке $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, конец в точке $D(-a, 0, 0)$.
$\vec{BD} = \{-a - \frac{a}{2}; 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0 - 0\} = \{-\frac{3a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\}$.

Ответ: $\vec{BD}\{-\frac{3a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\}$.

е) $\vec{A_1B} + \vec{BE}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{A_1B} + \vec{BE} = \vec{A_1E}$.
Найдем координаты вектора $\vec{A_1E}$. Начало в точке $A_1(a, 0, a)$, конец в точке $E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{A_1E} = \{-\frac{a}{2} - a; -\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - a\} = \{-\frac{3a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}; -a\}$.

Ответ: $\vec{A_1B} + \vec{BE} = \{-\frac{3a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}; -a\}$.