Номер 430, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

430. Дан вектор $\vec{a}(1; -1; 2)$. Вектор $\vec{AB}$ ему коллинеарен. Найдите координаты точки:

а) $B$, лежащей в плоскости $xOy$, учитывая, что $A(3; 1; 2)$;

б) $A$, лежащей в плоскости $xOy$, учитывая, что $B(2; -1; 1)$.

а) По условию, вектор $\overrightarrow{AB}$ коллинеарен вектору $\vec{a}(1; -1; 2)$. Это означает, что существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\overrightarrow{AB} = k \cdot \vec{a}$. Точка $B$ лежит в плоскости $xOy$, следовательно, ее аппликата (координата $z$) равна нулю. Обозначим координаты точки $B$ как $(x_B; y_B; 0)$. Координаты точки $A$ известны: $A(3; 1; 2)$. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, вычитая из координат точки $B$ соответствующие координаты точки $A$:$\overrightarrow{AB} = (x_B - 3; y_B - 1; 0 - 2) = (x_B - 3; y_B - 1; -2)$. Теперь запишем равенство $\overrightarrow{AB} = k \cdot \vec{a}$ в координатной форме:$(x_B - 3; y_B - 1; -2) = k \cdot (1; -1; 2) = (k; -k; 2k)$. Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений: $x_B - 3 = k$; $y_B - 1 = -k$; $-2 = 2k$. Из третьего уравнения находим коэффициент $k$: $2k = -2 \implies k = -1$. Подставим найденное значение $k$ в первые два уравнения, чтобы найти координаты $x_B$ и $y_B$:$x_B - 3 = -1 \implies x_B = 3 - 1 = 2$.$y_B - 1 = -(-1) \implies y_B - 1 = 1 \implies y_B = 1 + 1 = 2$. Таким образом, искомые координаты точки $B$ это $(2; 2; 0)$.

Ответ: $B(2; 2; 0)$.

б) Аналогично пункту а), вектор $\overrightarrow{AB}$ коллинеарен вектору $\vec{a}(1; -1; 2)$, значит $\overrightarrow{AB} = k \cdot \vec{a}$ для некоторого числа $k$. В этом случае точка $A$ лежит в плоскости $xOy$, поэтому ее аппликата $z_A = 0$. Обозначим координаты точки $A$ как $(x_A; y_A; 0)$. Координаты точки $B$ известны: $B(2; -1; 1)$. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - x_A; -1 - y_A; 1 - 0) = (2 - x_A; -1 - y_A; 1)$. Запишем равенство $\overrightarrow{AB} = k \cdot \vec{a}$ в координатах:$(2 - x_A; -1 - y_A; 1) = k \cdot (1; -1; 2) = (k; -k; 2k)$. Получаем систему уравнений: $2 - x_A = k$; $-1 - y_A = -k$; $1 = 2k$. Из третьего уравнения находим $k$: $2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$. Подставим значение $k$ в первые два уравнения для нахождения координат $x_A$ и $y_A$:$2 - x_A = \frac{1}{2} \implies x_A = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$-1 - y_A = -\frac{1}{2} \implies -y_A = 1 - \frac{1}{2} \implies -y_A = \frac{1}{2} \implies y_A = -\frac{1}{2}$. Таким образом, искомые координаты точки $A$ это $(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; 0)$.

Ответ: $A(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; 0)$.