Номер 426, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

426. У параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны координаты четырёх вершин. Найдите координаты остальных четырёх вершин, учитывая, что:

а) $A(1; 3; -1)$, $B(4; 3; 2)$, $C(3; 1; 2)$, $B_1(3; 2; 5);$

б) $A(-2; 3; -1)$, $C(4; 1; 5)$, $B_1(4; 3; 2)$, $D_1(2; 5; 6).$

а) Даны вершины $A(1; 3; -1)$, $B(4; 3; 2)$, $C(3; 1; 2)$, $B_1(3; 2; 5)$. Необходимо найти координаты вершин $D, A_1, C_1, D_1$.

1. Найдем координаты вершины $D$. Основание $ABCD$ является параллелограммом, поэтому для него выполняется векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = C - B = (3 - 4; 1 - 3; 2 - 2) = (-1; -2; 0)$.

Координаты точки $D$ можно найти, прибавив к координатам точки $A$ координаты вектора $\vec{BC}$ (что эквивалентно формуле $D = A + C - B$):

$D = A + \vec{BC} = (1 + (-1); 3 + (-2); -1 + 0) = (0; 1; -1)$.

2. Найдем вектор сдвига бокового ребра, например, $\vec{BB_1}$. В параллелепипеде все боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

$\vec{BB_1} = B_1 - B = (3 - 4; 2 - 3; 5 - 2) = (-1; -1; 3)$.

3. Используя этот вектор сдвига, найдем координаты оставшихся вершин $A_1$, $C_1$ и $D_1$.

Координаты $A_1$:

$A_1 = A + \vec{BB_1} = (1 + (-1); 3 + (-1); -1 + 3) = (0; 2; 2)$.

Координаты $C_1$:

$C_1 = C + \vec{BB_1} = (3 + (-1); 1 + (-1); 2 + 3) = (2; 0; 5)$.

Координаты $D_1$:

$D_1 = D + \vec{BB_1} = (0 + (-1); 1 + (-1); -1 + 3) = (-1; 0; 2)$.

Ответ: $D(0; 1; -1)$, $A_1(0; 2; 2)$, $C_1(2; 0; 5)$, $D_1(-1; 0; 2)$.

б) Даны вершины $A(-2; 3; -1)$, $C(4; 1; 5)$, $B_1(4; 3; 2)$, $D_1(2; 5; 6)$. Необходимо найти координаты вершин $B, D, A_1, C_1$.

1. В данном случае известны вершины, являющиеся концами диагоналей оснований: $AC$ для нижнего и $B_1D_1$ для верхнего. Мы можем найти центры этих оснований, которые являются серединами соответствующих диагоналей.

Найдем центр нижнего основания $M$ как середину отрезка $AC$:

$M = (\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2}) = (\frac{-2 + 4}{2}; \frac{3 + 1}{2}; \frac{-1 + 5}{2}) = (1; 2; 2)$.

Найдем центр верхнего основания $M_1$ как середину отрезка $B_1D_1$:

$M_1 = (\frac{x_{B_1} + x_{D_1}}{2}; \frac{y_{B_1} + y_{D_1}}{2}; \frac{z_{B_1} + z_{D_1}}{2}) = (\frac{4 + 2}{2}; \frac{3 + 5}{2}; \frac{2 + 6}{2}) = (3; 4; 4)$.

2. Вектор, соединяющий центры оснований $\vec{MM_1}$, равен вектору сдвига боковых ребер: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{MM_1}$.

$\vec{MM_1} = M_1 - M = (3 - 1; 4 - 2; 4 - 2) = (2; 2; 2)$.

3. Теперь, зная вектор сдвига, найдем координаты недостающих вершин.

Координаты вершин $A_1$ и $C_1$ найдем, прибавив вектор сдвига к координатам $A$ и $C$:

$A_1 = A + \vec{MM_1} = (-2 + 2; 3 + 2; -1 + 2) = (0; 5; 1)$.

$C_1 = C + \vec{MM_1} = (4 + 2; 1 + 2; 5 + 2) = (6; 3; 7)$.

Координаты вершин $B$ и $D$ найдем, вычтя вектор сдвига из координат $B_1$ и $D_1$ (так как $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1}$):

$B = B_1 - \vec{MM_1} = (4 - 2; 3 - 2; 2 - 2) = (2; 1; 0)$.

$D = D_1 - \vec{MM_1} = (2 - 2; 5 - 2; 6 - 2) = (0; 3; 4)$.

Ответ: $B(2; 1; 0)$, $D(0; 3; 4)$, $A_1(0; 5; 1)$, $C_1(6; 3; 7)$.