Номер 421, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

421. Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет измерения $AB = a, AC = b$ и $AA_1 = c$. Точка A является началом системы координат, рёбра расположены на координатных осях (рис. 368). Найдите координаты векторов:

а) $\vec{AC_1}$, $\vec{BD_1}$, $\vec{CA_1}$, $\vec{DB_1}$;

б) $\vec{AA_1}$, $\vec{C_1D}$, $\vec{D_1B}$, $\vec{B_1C_1}$;

в) $\vec{BA_1}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{AD}$, $\vec{A_1D}$.

Рис. 368

Для решения задачи сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в заданной системе координат. Согласно условию и рисунку 368, начало координат находится в точке $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AB$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Это означает, что параллелепипед является прямоугольным.

Даны следующие измерения: $|AB| = a$, $|AC| = b$ и $|AA_1| = c$. Поскольку ребра $AB$ и $AD$ лежат на осях координат $Oy$ и $Ox$ соответственно, они перпендикулярны. Следовательно, основание $ABCD$ является прямоугольником. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (или $ABC$, так как $|AD|=|BC|$) по теореме Пифагора для диагонали $AC$ имеем: $|AC|^2 = |AB|^2 + |AD|^2$.

Подставим известные значения: $b^2 = a^2 + |AD|^2$. Отсюда находим длину ребра $AD$: $|AD| = \sqrt{b^2 - a^2}$.

Теперь мы можем записать координаты всех вершин параллелепипеда:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(0; a; 0)$
• $D(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0)$
• $C(\sqrt{b^2 - a^2}; a; 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)
• $A_1(0; 0; c)$
• $B_1(0; a; c)$
• $D_1(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; c)$
• $C_1(\sqrt{b^2 - a^2}; a; c)$

Координаты вектора, идущего от точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ к точке $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле $\vec{M_1M_2}\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

Вычислим координаты каждого вектора:

• $\vec{AC_1}$: начало $A(0; 0; 0)$, конец $C_1(\sqrt{b^2 - a^2}; a; c)$.
  $\vec{AC_1}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; a - 0; c - 0\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; a; c\}$.
• $\vec{BD_1}$: начало $B(0; a; 0)$, конец $D_1(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; c)$.
  $\vec{BD_1}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; 0 - a; c - 0\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; -a; c\}$.
• $\vec{CA_1}$: начало $C(\sqrt{b^2 - a^2}; a; 0)$, конец $A_1(0; 0; c)$.
  $\vec{CA_1}\{0 - \sqrt{b^2 - a^2}; 0 - a; c - 0\} = \{-\sqrt{b^2 - a^2}; -a; c\}$.
• $\vec{DB_1}$: начало $D(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0)$, конец $B_1(0; a; c)$.
  $\vec{DB_1}\{0 - \sqrt{b^2 - a^2}; a - 0; c - 0\} = \{-\sqrt{b^2 - a^2}; a; c\}$.

Ответ: $\vec{AC_1}\{\sqrt{b^2 - a^2}; a; c\}$, $\vec{BD_1}\{\sqrt{b^2 - a^2}; -a; c\}$, $\vec{CA_1}\{-\sqrt{b^2 - a^2}; -a; c\}$, $\vec{DB_1}\{-\sqrt{b^2 - a^2}; a; c\}$.

Вычислим координаты каждого вектора:

• $\vec{AA_1}$: начало $A(0; 0; 0)$, конец $A_1(0; 0; c)$.
  $\vec{AA_1}\{0 - 0; 0 - 0; c - 0\} = \{0; 0; c\}$.
• $\vec{C_1D}$: начало $C_1(\sqrt{b^2 - a^2}; a; c)$, конец $D(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0)$.
  $\vec{C_1D}\{\sqrt{b^2 - a^2} - \sqrt{b^2 - a^2}; 0 - a; 0 - c\} = \{0; -a; -c\}$.
• $\vec{D_1B}$: начало $D_1(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; c)$, конец $B(0; a; 0)$.
  $\vec{D_1B}\{0 - \sqrt{b^2 - a^2}; a - 0; 0 - c\} = \{-\sqrt{b^2 - a^2}; a; -c\}$.
• $\vec{B_1C_1}$: начало $B_1(0; a; c)$, конец $C_1(\sqrt{b^2 - a^2}; a; c)$.
  $\vec{B_1C_1}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; a - a; c - c\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$.

Ответ: $\vec{AA_1}\{0; 0; c\}$, $\vec{C_1D}\{0; -a; -c\}$, $\vec{D_1B}\{-\sqrt{b^2 - a^2}; a; -c\}$, $\vec{B_1C_1}\{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$.

Вычислим координаты каждого вектора:

• $\vec{BA_1}$: начало $B(0; a; 0)$, конец $A_1(0; 0; c)$.
  $\vec{BA_1}\{0 - 0; 0 - a; c - 0\} = \{0; -a; c\}$.
• $\vec{B_1C_1}$: начало $B_1(0; a; c)$, конец $C_1(\sqrt{b^2 - a^2}; a; c)$.
  $\vec{B_1C_1}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; a - a; c - c\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$.
• $\vec{AD}$: начало $A(0; 0; 0)$, конец $D(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0)$.
  $\vec{AD}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; 0 - 0; 0 - 0\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$.
• $\vec{A_1D}$: начало $A_1(0; 0; c)$, конец $D(\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0)$.
  $\vec{A_1D}\{\sqrt{b^2 - a^2} - 0; 0 - 0; 0 - c\} = \{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; -c\}$.

Ответ: $\vec{BA_1}\{0; -a; c\}$, $\vec{B_1C_1}\{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$, $\vec{AD}\{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; 0\}$, $\vec{A_1D}\{\sqrt{b^2 - a^2}; 0; -c\}$.