Номер 418, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

418. В пространстве выбраны точки A, B, C, A₁, B₁, C₁, M, K. Известно, что $ \vec{MA} + \vec{MK} = \vec{MA_1}$, $ \vec{MB} + \vec{MK} = \vec{MB_1}$, $ \vec{MC} + \vec{MK} = \vec{MC_1}$. Докажите, что стороны треугольника ABC параллельны и равны сторонам треугольника A₁B₁C₁.

Для доказательства того, что стороны треугольника $ABC$ параллельны и равны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$, мы докажем, что векторы, образующие стороны одного треугольника, равны соответствующим векторам, образующим стороны другого. Равенство векторов, например $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, означает, что они имеют одинаковое направление (следовательно, отрезки $AB$ и $A_1B_1$ параллельны) и их длины равны ($|AB| = |A_1B_1|$).

Рассмотрим пару сторон $AB$ и $A_1B_1$. Выразим векторы этих сторон через векторы, отложенные от точки $M$, по правилу разности векторов:

$\vec{AB} = \vec{MB} - \vec{MA}$

$\vec{A_1B_1} = \vec{MB_1} - \vec{MA_1}$

Согласно условию задачи, имеем равенства $\vec{MA_1} = \vec{MA} + \vec{MK}$ и $\vec{MB_1} = \vec{MB} + \vec{MK}$. Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{A_1B_1} = (\vec{MB} + \vec{MK}) - (\vec{MA} + \vec{MK})$

Раскрыв скобки и упростив выражение, получим:

$\vec{A_1B_1} = \vec{MB} + \vec{MK} - \vec{MA} - \vec{MK} = \vec{MB} - \vec{MA}$

Сравнивая полученное выражение для $\vec{A_1B_1}$ с выражением для $\vec{AB}$, мы видим, что $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.

Аналогично поступим с двумя другими парами сторон. Для сторон $BC$ и $B_1C_1$: вектор $\vec{BC} = \vec{MC} - \vec{MB}$. Вектор $\vec{B_1C_1} = \vec{MC_1} - \vec{MB_1}$. Используя условия задачи, получаем $\vec{B_1C_1} = (\vec{MC} + \vec{MK}) - (\vec{MB} + \vec{MK}) = \vec{MC} - \vec{MB}$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$.

Для сторон $CA$ и $C_1A_1$: вектор $\vec{CA} = \vec{MA} - \vec{MC}$. Вектор $\vec{C_1A_1} = \vec{MA_1} - \vec{MC_1}$. Используя условия задачи, получаем $\vec{C_1A_1} = (\vec{MA} + \vec{MK}) - (\vec{MC} + \vec{MK}) = \vec{MA} - \vec{MC}$. Таким образом, $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.

Поскольку мы доказали, что соответствующие векторы сторон треугольников равны ($\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$ и $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$), то из этого следует, что стороны треугольника $ABC$ параллельны и равны по длине соответствующим сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.