Номер 414, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

414. В грани $ABC$ треугольной пирамиды $ABCD$ медианы пересекаются в точке $M$. Докажите, что длина отрезка $DM$ меньше третьей доли суммы длин рёбер $AD$, $BD$ и $CD$.

414. Рассмотрим треугольную пирамиду $ABCD$. Точка $M$ является точкой пересечения медиан в грани $ABC$, следовательно, $M$ — это центроид треугольника $ABC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем вершину пирамиды $D$ в качестве начала отсчета (начала системы координат). Тогда положение вершин $A$, $B$ и $C$ будет задаваться радиус-векторами $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ соответственно.

Радиус-вектор центроида $M$ треугольника $ABC$ равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. В выбранной нами системе отсчета радиус-вектор точки $M$ — это вектор $\vec{DM}$. Таким образом, справедливо векторное равенство: $\vec{DM} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3}$.

Длина отрезка $DM$ равна модулю (длине) вектора $\vec{DM}$. Найдем модуль от обеих частей равенства: $DM = |\vec{DM}| = \left|\frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3}\right| = \frac{1}{3} |\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}|$.

Далее применим обобщенное неравенство треугольника (также известное как неравенство многоугольника) для векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$: $|\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}| \le |\vec{DA}| + |\vec{DB}| + |\vec{DC}|$.

Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все три вектора коллинеарны и сонаправлены. В нашем случае это означало бы, что точки $D$, $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Однако по условию $ABCD$ — это треугольная пирамида, а значит, ее вершины не могут лежать на одной прямой (точки $A, B, C$ образуют треугольник, а точка $D$ не лежит в их плоскости). Следовательно, векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ не являются коллинеарными.

Поскольку векторы не коллинеарны, для них выполняется строгое неравенство треугольника: $|\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}| < |\vec{DA}| + |\vec{DB}| + |\vec{DC}|$.

Подставим это строгое неравенство в выражение для длины $DM$: $DM = \frac{1}{3} |\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}| < \frac{1}{3} (|\vec{DA}| + |\vec{DB}| + |\vec{DC}|)$.

Учитывая, что длины векторов $|\vec{DA}|$, $|\vec{DB}|$ и $|\vec{DC}|$ равны длинам соответствующих рёбер $AD$, $BD$ и $CD$, окончательно получаем: $DM < \frac{1}{3} (AD + BD + CD)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $DM < \frac{1}{3}(AD + BD + CD)$ следует из векторной формулы для центроида треугольника и свойства неравенства треугольника для векторов, которое для неколлинеарных векторов, каковыми являются векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, является строгим.