Номер 408, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

408. Известно, что векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a} - 2\vec{b}$ коллинеарны. Докажите, что

векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр), или если один из векторов является нулевым.

По условию задачи, векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a} - 2\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство:$\vec{a} + 3\vec{b} = k(\vec{a} - 2\vec{b})$

Раскроем скобки в правой части и преобразуем равенство, сгруппировав слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по разным сторонам:$\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{a} - 2k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} = -2k\vec{b} - 3\vec{b}$
$(1 - k)\vec{a} = (-2k - 3)\vec{b}$

Рассмотрим два возможных случая, основанных на значении коэффициента $(1 - k)$.

Случай 1: $1 - k \neq 0$.
В этом случае можно выразить вектор $\vec{a}$ через вектор $\vec{b}$, разделив обе части равенства на $(1 - k)$:$\vec{a} = \frac{-2k - 3}{1 - k}\vec{b}$
Так как выражение $\frac{-2k - 3}{1 - k}$ является скаляром (числом), то мы получили, что вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, умноженному на скаляр. По определению, это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $1 - k = 0$, то есть $k = 1$.
Подставим значение $k = 1$ в преобразованное ранее равенство $(1 - k)\vec{a} = (-2k - 3)\vec{b}$:$(1 - 1)\vec{a} = (-2 \cdot 1 - 3)\vec{b}$
$0 \cdot \vec{a} = -5\vec{b}$
$\vec{0} = -5\vec{b}$
Данное равенство справедливо только в том случае, если $\vec{b} = \vec{0}$ (нулевой вектор). По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору $\vec{a}$. Следовательно, и в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них пришли к выводу, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.