Номер 409, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

409. В треугольной пирамиде каждая вершина соединена с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что эти четыре отрезка проходят через одну точку и делятся ею в отношении $3 : 1$, если считать от вершины.

Для доказательства этого утверждения наиболее удобен векторный метод. Точка, о которой идет речь в задаче, является центром масс (или центроидом) тетраэдра.

Пусть вершины треугольной пирамиды (тетраэдра) заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ относительно некоторого начала координат $O$.

Точка пересечения медиан (центроид) любой грани представляет собой среднее арифметическое радиус-векторов ее вершин. Обозначим центроиды граней, противоположных вершинам $A, B, C, D$, как $M_A, M_B, M_C, M_D$ соответственно. Их радиус-векторы будут:

• $M_A$ (центроид грани $BCD$): $\vec{m}_A = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$
• $M_B$ (центроид грани $ACD$): $\vec{m}_B = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$
• $M_C$ (центроид грани $ABD$): $\vec{m}_C = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$
• $M_D$ (центроид грани $ABC$): $\vec{m}_D = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Рассмотрим четыре отрезка, соединяющие каждую вершину с центроидом противоположной грани: $AM_A, BM_B, CM_C, DM_D$. Нам нужно доказать, что они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $3:1$, считая от вершины.

Найдем радиус-вектор точки $G$, которая делит один из этих отрезков, например $AM_A$, в отношении $AG:GM_A = 3:1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, радиус-вектор точки $G$ равен:

$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{m}_A}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3 \cdot \vec{m}_A}{4}$

Подставим выражение для $\vec{m}_A$:

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + 3 \cdot \left(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}\right)}{4} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Теперь проделаем то же самое для остальных трех отрезков.

Для отрезка $BM_B$, точка, делящая его в отношении $3:1$ от вершины $B$, имеет радиус-вектор:

$\vec{g'} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{m}_B}{4} = \frac{\vec{b} + 3 \cdot \left(\frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}\right)}{4} = \frac{\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Для отрезка $CM_C$, точка, делящая его в отношении $3:1$ от вершины $C$, имеет радиус-вектор:

$\vec{g''} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{m}_C}{4} = \frac{\vec{c} + 3 \cdot \left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}\right)}{4} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{4}$

Для отрезка $DM_D$, точка, делящая его в отношении $3:1$ от вершины $D$, имеет радиус-вектор:

$\vec{g'''} = \frac{1 \cdot \vec{d} + 3 \cdot \vec{m}_D}{4} = \frac{\vec{d} + 3 \cdot \left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right)}{4} = \frac{\vec{d} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Все вычисления привели к одному и тому же результату:

$\vec{g} = \vec{g'} = \vec{g''} = \vec{g'''} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Это доказывает, что точка, делящая каждый из четырех отрезков в отношении $3:1$ (считая от вершины), одна и та же. Следовательно, все четыре отрезка пересекаются в этой единственной точке и делятся ею в указанном отношении.

Ответ: Что и требовалось доказать.