Номер 416, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

416. На боковых рёбрах треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбраны точки $P, Q, R$. Медианы треугольника $PQR$ пересекаются в точке $M$, а медианы треугольника $ABC$ — в точке $N$ (рис. 366). Докажите, что $MN \parallel AA_1$.

Рис. 366

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $A$. Обозначим радиус-векторы, исходящие из начала координат: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ и $\vec{AA_1} = \vec{a}$.

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ является призмой, ее боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{a}$.

Точки $P$, $Q$ и $R$ находятся на боковых ребрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Их радиус-векторы можно выразить как:

$\vec{P} = \vec{A} + k_1\vec{AA_1} = \vec{0} + k_1\vec{a} = k_1\vec{a}$
$\vec{Q} = \vec{B} + k_2\vec{BB_1} = \vec{b} + k_2\vec{a}$
$\vec{R} = \vec{C} + k_3\vec{CC_1} = \vec{c} + k_3\vec{a}$
где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые числа из отрезка $[0, 1]$.

Точка $N$ — это центроид (точка пересечения медиан) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

$\vec{N} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

Аналогично, точка $M$ — центроид треугольника $PQR$. Ее радиус-вектор:

$\vec{M} = \frac{\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}}{3} = \frac{(k_1 \vec{a}) + (\vec{b} + k_2 \vec{a}) + (\vec{c} + k_3 \vec{a})}{3}$

Сгруппируем слагаемые в выражении для $\vec{M}$:

$\vec{M} = \frac{(\vec{b} + \vec{c}) + (k_1 + k_2 + k_3)\vec{a}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + \frac{k_1 + k_2 + k_3}{3}\vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{NM}$, который соединяет точки $N$ и $M$:

$\vec{NM} = \vec{M} - \vec{N} = \left( \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) + \frac{k_1 + k_2 + k_3}{3}\vec{a} \right) - \left( \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) \right) = \frac{k_1 + k_2 + k_3}{3}\vec{a}$

Так как вектор $\vec{NM}$ является произведением вектора $\vec{a} = \vec{AA_1}$ на скаляр $\frac{k_1 + k_2 + k_3}{3}$, то вектор $\vec{NM}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Это означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $AA_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.