Номер 417, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

417. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $K$ на ребре $SC$ выбрана так, что $SK : SC = 1 : 3$. Плоскость, проходящая через точки $K$ и $D$ параллельно прямой $AS$, пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Найдите отношение $AP : PB$.

Для решения задачи воспользуемся методом построений и свойствами подобных треугольников.

1. Сначала построим сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки $K$ и $D$ параллельно прямой $AS$. Плоскость сечения α пересекает плоскость грани $SAC$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AS$. Проведём в плоскости $SAC$ прямую $KM$ параллельно $AS$, где точка $M$ лежит на диагонали основания $AC$.

2. Рассмотрим треугольник $SAC$. Так как $KM \parallel AS$, то треугольники $\triangle CKM$ и $\triangle CSA$ подобны по двум углам. Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{CK}{CS} = \frac{CM}{CA}$

По условию задачи дано отношение $SK : SC = 1 : 3$, что означает $SK = \frac{1}{3} SC$. Тогда длина отрезка $CK$ составляет:

$CK = SC - SK = SC - \frac{1}{3} SC = \frac{2}{3} SC$

Следовательно, отношение $\frac{CK}{CS} = \frac{2}{3}$.

Подставляя это в отношение из подобия треугольников, получаем:

$\frac{CM}{CA} = \frac{2}{3}$

Это означает, что точка $M$ делит диагональ $AC$ в отношении $CM : MA = 2 : 1$, или, что то же самое, $\frac{AM}{CM} = \frac{1}{2}$.

3. Плоскость сечения α проходит через точки $D$ и $M$, которые обе лежат в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, прямая $DM$ является линией пересечения плоскости сечения α и плоскости основания пирамиды.

По условию, точка $P$ — это точка пересечения плоскости α и прямой $AB$. Так как прямая $AB$ также лежит в плоскости основания, точка $P$ является точкой пересечения прямых $DM$ и $AB$.

4. Рассмотрим основание пирамиды — квадрат $ABCD$. В плоскости этого квадрата рассмотрим треугольники $\triangle PAM$ и $\triangle DCM$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

• $\angle PAM = \angle DCM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$).
• $\angle PMA = \angle DMC$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle PAM$ и $\triangle DCM$ подобны по двум углам.

5. Из подобия треугольников $\triangle PAM$ и $\triangle DCM$ следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AP}{DC} = \frac{AM}{CM}$

Из пункта 2 мы знаем, что $\frac{AM}{CM} = \frac{1}{2}$. Значит:

$\frac{AP}{DC} = \frac{1}{2}$

Так как $ABCD$ — квадрат, то $DC = AB$. Заменим $DC$ на $AB$ в пропорции:

$\frac{AP}{AB} = \frac{1}{2}$, или $AP = \frac{1}{2} AB$.

Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом, длины отрезков $AP$ и $PB$ равны: $AP = PB$.

Искомое отношение равно $AP : PB = 1 : 1$.

Ответ: $1 : 1$.